Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 40
(a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano )
onde é o disco com raio e centro na origem. Mostre que
(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é
onde é o quadrado com vértices . Use esse resultado para mostrar que
(c) Deduza que
(d) Fazendo a mudança de variável , mostre que
(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.)
Passo 1
(a) Beleza, galera? Pra resolver a integral, vamos passá-la para coordenadas polares:
Passo 2
(b) Pra chegarmos ao resultado pretendido nesse item, basta dar uma ajeitada na integral pra deixá-la igual à do item anterior:
Passo 3
(c) Galera, repare que a letra não faz a menor diferença nesse caso:
Então, temos:
Ou seja, podemos escrever a equação:
E a partir do item anterior:
Passo 4
(d) Olhando pra integral do item anterior, vamos fazer a mudança de variável:
Ou seja,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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