Enunciado

(a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano R 2 )

I = ∬ R 2   e - x 2 + y 2   d A = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = lim a → ∞ ⁡ ∬ D a   e - x 2 + y 2   d A

onde D a é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = π

(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é

∬ R 2   e - x 2 + y 2   d A = lim a → ∞ ⁡ ∬ S a   e - x 2 + y 2   d A

onde S a é o quadrado com vértices ± a ,   ± a . Use esse resultado para mostrar que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y = π

(c) Deduza que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π

(d) Fazendo a mudança de variável t = 2   x , mostre que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x = 2 π

(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.)

Passo 1

(a) Beleza, galera? Pra resolver a integral, vamos passá-la para coordenadas polares:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e - r 2   r   d r   d θ = ∫ 0 2 π - e - r 2 2 0 ∞   d θ = ∫ 0 2 π 1 2   d θ = θ 2 0 2 π = π

Passo 2

(b) Pra chegarmos ao resultado pretendido nesse item, basta dar uma ajeitada na integral pra deixá-la igual à do item anterior:

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = π

Passo 3

(c) Galera, repare que a letra não faz a menor diferença nesse caso:

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y

Então, temos:

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x 2

Ou seja, podemos escrever a equação:

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x 2 = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y

E a partir do item anterior:

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x 2 = π

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π

Passo 4

(d) Olhando pra integral do item anterior, vamos fazer a mudança de variável:

t = 2   x   ,                     x 2 = t 2 2   ,                     d x = 1 2   d t

π = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = ∫ - ∞ ∞ e - t 2 2 1 2   d t = 1 2 ∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x

Ou seja,

1 2 ∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x = π

∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x = 2 π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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