Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 30
Complete a demonstração do Teorema de Green demonstrando a Equação 3.
Passo 1
Queremos provar que
Resolvendo o lado direito como uma região do tipo II temos
Então temos
Pelo teorema funtamental do cálculo
Passo 2
Agora olhando para a integral de linha
Colocando como a fronteira da região descrita , que pode ser representada graficamente como mostrado na figura a esquerda, vamos escrever e calcular a integral como soma das quatro integrais.
Para a primeira curva , como ela ta com a direção para baixo, podemos parametrizar a sua negativa como como e e temos
Para as curvas e temos constante então , logo
Para podemos parametrizar como e com e temos
Então temos
Como provamos no passo anterior
E temos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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