Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.

lim x → - 3 ⁡ 1 - 4 x = 13

Passo 1

Opa, e aí! Tudo bem?! Aqui temos:

lim x → - 3 ⁡ 1 - 4 x = 13

Aqui a gente precisa demonstrar o limite acima usando a definição ε e δ .

Beleza, mas que definição é essa?! Imagina que tenhamos o seguinte limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Então para todo número ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se:

0 < x - a < δ

Então:

f x - L <   ε

Podemos escrever essas expressões sem os módulos pra ficar mais fácil de visualizar!

- δ < x - a < δ

- ε < f x - L < ε

Pra resolver esse problema vamos substituir os nossos dados nessas expressões aí de cima! Com elas em mente, vamos pegar essa segunda expressão e manipular ela até chegar na primeira. Assim a gente consegue relacionar   ε e δ !

Depois também temos que fazer um diagrama como da figura 9 do livro:

Ou seja, vamos traçar a reta 1 - 4 x , pegar um intervalo em torno de x = - 3 verificar que existe um intervalo positivo em torno de y = 13 .

Passo 2

Lembra que temos:

lim x → - 3 ⁡ 1 - 4 x = 13

Então:

- δ < x - - 3 < δ

- ε < 1 - 4 x - 13 < ε

Vamos então vamos começar dando uma arrumadinha nessas expressões:

- δ < x + 3 < δ

- ε < - 4 x - 12 < ε

Agora vamos pegar essa segunda expressão e dividir todo mundo por 4 :

- ε 4 < - 4 x - 12 4 < ε 4

- ε 4 < - x - 3 < ε 4

Multiplicando todo mundo por - 1 :

ε 4 > x + 3 > - ε 4

Que é o mesmo que:

- ε 4 < x + 3 < ε 4

Lembra que:

- δ < x + 3 < δ

Então:

δ = ε 4

Passo 3

Podemos então escrever:

lim x → - 3 ⁡ 1 - 4 x = 13

Temos que

0 < x + 3 < δ

- 4 x - 12 <   ε

Como temos:

δ = ε 4

Então pra ε > 0 temos um δ > 0 nas condições acima!

Passo 4

Agora vamos desenhar o diagrama! A nossa função é:

f x = 1 - 4 x  

Desenhando:

Repara que temos um intervalo em torno de x = - 3 e um intervalo em torno de y = 13 !

Resposta

Demonstração.

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