Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.

lim x → 4 ⁡ 7 - 3 x = - 5

Passo 1

E aí, tudo bem?! Aqui temos o limite:

lim x → 4 ⁡ 7 - 3 x = - 5

Aqui a gente precisa demonstrar o limite acima usando a definição ε e δ .

Beleza, mas que definição é essa?! Imagina que tenhamos o seguinte limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Então para todo número ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se:

0 < x - a < δ

Então:

f x - L <   ε

Podemos escrever essas expressões sem os módulos pra ficar mais fácil de visualizar!

- δ < x - a < δ

- ε < f x - L < ε

Pra resolver esse problema vamos substituir os nossos dados nessas expressões aí de cima! Com elas em mente, vamos pegar essa segunda expressão e manipular ela até chegar na primeira. Assim a gente consegue relacionar   ε e δ !

Depois também temos que fazer um diagrama como da figura 9 do livro:

Ou seja, vamos traçar a reta 7 - 3 x , pegar um intervalo em torno de x = 4 verificar que existe um intervalo “positivo” em torno de y = 13 .

Passo 2

Lembra que temos:

lim x → 4 ⁡ 7 - 3 x = - 5

Então:

- δ < x - 4 < δ

- ε < 7 - 3 x - - 5 < ε

Vamos então vamos começar dando uma arrumadinha na segunda expressão:

- ε < - 3 x + 12 < ε

Agora vamos dividir todo mundo por 3 :

- ε 3 < - 3 x + 12 3 < ε 3

- ε 3 < - x + 4 < ε 3

Multiplicando todo mundo por - 1 :

ε 3 > x - 4 > - ε 3

Que é o mesmo que:

- ε 3 < x - 4 < ε 3

Lembra que:

- δ < x - 4 < δ

Então:

δ = ε 3

Passo 3

Podemos então escrever:

lim x → 4 ⁡ 7 - 3 x = - 5

Temos que:

0 < x - 4 < δ

7 - 3 x - - 5 <   ε

Como temos:

δ = ε 3

Então pra ε > 0 temos um δ > 0 nas condições acima!

Passo 4

Agora vamos desenhar o diagrama! A nossa função é:

f x = 7 - 3 x  

Desenhando:

Repara que temos um intervalo em torno de x = 4 e um intervalo em torno de y = - 5 !

Resposta

Demonstração.

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