Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite.

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 1 = 3

Passo 1

Nesse exercício temos que usar a definição rigorosa de limite para mostrar que

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 1 = 3

Vamos relembrar a definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L ,

se para todo número ε > 0 existir um número δ > 0 tal que

0 < x - a < δ ⇒ f x - L < ε

Nesse caso, temos que a = - 2 , f x = x 2 - 1 e L = 3 . Assim, temos que provar que para todo ε > 0 , existe um δ > 0 tal que

0 < x - - 2 < δ ⇒ x 2 - 1 - 3 < ε

Ou ainda,

0 < x + 2 < δ ⇒ x 2 - 4 < ε

Com isso formulamos nosso problema, temos que provar que para todo numéro positivo ε , existe um outro número positivo δ tal que 0 < x + 2 < δ implique x 2 - 4 < ε . Se fizermos isso, provamos que

lim x → a ⁡ f x = lim x → - 2 ⁡ x 2 - 1 = L = 3

Passo 2

A sacada para provar isso é dar um jeito de escrever δ como função de ε de modo que

0 < x + 2 < δ ⇒ x 2 - 4 < ε

Observe o seguinte: se x + 2 < 1 . Substituindo o menor valor, 0 , e o maior valor, 1 , possível na equação temos que

- 1 < x + 2 < 1

Daí podemos subtrair 4 de todo mundo:

- 1 - 4 < x + 2 - 4 < 1 - 4

Portanto, se x + 2 < 1 , temos que

- 5 < x - 2 < - 3

Colocando o módulo na função, vemos que

x + 2 < 1 ⇒ x - 2 < 5

Passo 3

Vamos usar a observação do passo anterior para terminar o problema! Queremos achar δ como função de ε tal que

0 < x + 2 < δ ⇒ x + 2 x - 2 < ε

Com isso, temos que

δ ≤ 1             e           δ ≤ ε 5

Veja que isso faz sentido: se δ é o mínimo entre dois números, então ele será menor ou igual a cada um desses números. Desta forma, com essa escolha de δ , temos que

x + 2 < δ ⇒ x + 2 < 1             e           x + 2 < ε 5

Mas vimos no passo 2, que x + 2 < 1 implica x - 2 < 5 . Com isso, temos que

0 < x + 2 < δ ⇒ x - 2 < 5             e         x + 2 < ε 5

Com isso,

x + 2 x - 2 < 5 ⋅ ε 5 = ε

Com isso temos que

0 < x + 2 < δ ⇒ x + 2 x - 2 < ε

Desta forma, provamos que para todo ε > 0 , existe um δ > 0 tal que

0 < x + 2 < δ ⇒ x 2 - 4 < ε

Resposta

Demonstração.

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