Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = x 2 ;   - 1 , 1

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 2 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 1 + 1 n = 2 n

x k * = - 1 + 2 k - 1 2 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n - 1 + 2 k - 1 2 n 2 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n - n + 2 k - 1 n 2 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 + 4 k 2 n 2 + 1 n 2 - 4 k n + 2 n - 4 k n 2 2 n  

A = l i m n → ∞ 2 n ∑ k = 1 n 1 + 4 n 2 ∑ k = 1 n k 2 + 1 n 2 ∑ k = 1 n 1 - 4 n ∑ k = 1 n k + 2 n ∑ k = 1 n 1 - 4 n 2 ∑ k = 1 n k

Passo 3

Agora calculando os somatórios e simplificando...

A = l i m n → ∞ 2 n n + 4 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 + 1 n 2 n - 4 n n n + 1 2 + 2 n n - 4 n 2 n n + 1 2

A =   l i m n → ∞ 2 n n + 4 6 n 2 n 2 + 3 n + 1 + 1 n - 2 n + 1 + 2 - 4 2 n n + 1  

A = l i m n → ∞ 2 n n + 4 3 n + 2 + 2 3 n + 1 n - 2 n - 2 + 2 - 4 2 + 4 2 n  

A =   l i m n → ∞ 2 + 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 + 2 n 2 - 4 - 2 n + 8 2 n

A =   l i m n → ∞ 2 - 4 + 8 3

A = 2 3

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pelo ponto médio😊

Resposta

A = 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os limites nos Exercícios 31-38. As funções são contínuas no ponto sendo aproximado? 35. lim t → 0 ⁡ cos ⁡ π 19 - 3 s e c ⁡ ( 2 t )
Determine os limites nos Exercícios 31-38. As funções são contínuas no ponto sendo aproximado? 38. lim x → 1 ⁡ cos - 1 ⁡ ln ⁡ x
69. Se G x = ( x + 6 ) / ( x 2 + 4 x - 12 ) .a. Faça uma tabela dos valores de G em x = - 5,9; - 5,99; - 5,999, e assim por diante. Em seguida, estime lim x → - 6 ⁡ G ( x ) . A que estimativa você che
68. Suponha que g x = ( x 2 - 2 ) / ( x - 2 ) .a. Faça uma tabela de valores de g nos pontos x = 1,4; 1,41; 1,414, e assim por diante, por sucessivas aproximações decimais de 2 . Estime lim x → 2 ⁡ g
70. Se h ( x ) = ( x 2 - 2 x - 3 ) / ( x 2 - 4 x + 3 ) a. Faça uma tabela dos valores de h em x = - 5,9 ;- 5,99 ;- 5,999 , e assim por diante. Em seguida, estime lim x → 3 ⁡ h ( x ) . A que estimativa