Demonstre que f é contínua em a se e somente se

A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. lim h → 0 ⁡ f a + h = f ( a )

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Bom galera, nessa questão queremos demonstrar o seguinte limite

lim h → 0 ⁡ f a + h = f ( a )

E iremos provar que apenas nessa condição a função f é continua.

Para isso iremos utilizaremos a seguinte propriedade

lim h → 0 ⁡ f a + h = f ( lim h → 0 ⁡ a + h )

Passo 2

Assim, queremos provar que:

lim h → 0 ⁡ f a + h = f a

E, supondo que f é continua:

g h = a + h

Que é continua por ser polinomial. Agora observe

lim h → 0 ⁡ f a + h = lim h → 0 ⁡ f g h

= f lim h → 0 ⁡ g h

= f lim h → 0 ⁡ a + h

= f ( a )

Então aqui terminamos nossa prova.

Resposta

Assim, f   será contínua em a se   lim h → 0 ⁡ f a + h = f ( a ) .

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