Enunciado

Demonstre que lim x → a ⁡ x = a se a > 0 .

[ Sugestão: Use x - a = x - a x + a     ]

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos juntos hoje resolver esse limite.

Aqui a gente tem que demonstrar

lim x → a ⁡ x = a

Quando a gente precisa demonstrar algo, normalmente nos devemos utilizar a teoria, e nesse caso deveremos utilizar a definição formal de limite. Sei que é um pouco difícil de entender ela, mas estou aqui para te ajudar.

Relembrando a definição formal:

Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a , exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de f ( x ) quando x tende a a é L , e escrevemos

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

Se

0 < x - a < δ

Então

f x - L < ε

Basicamente a definição formal diz que, se meu x está a uma distância δ de a , então minha função estará a uma distância ϵ do seu limite L .

Para o que o exercício pede, vamos passar por dois passos: supor um valor para δ e mostrar que esse δ funciona.

Passo 2

Encontrando um valor para δ :

Dado ε > 0 , devemos encontrar um δ > 0 tal que

x - a < ε

e

0 < x - a < δ

e pela sugestão do enunciado temos que

x - a = x - a x + a < ε

Veja que pela definição, ε e δ estão relacionados, então o que fazemos quando provamos é encontrar a relação entre eles.

Agora, se nós pudermos encontrar uma constante positiva C , tal que essa constante seja:

x + a > C

Então podemos reescrever:

1 > C x + a

Multiplicando ambos os termos por | x - a | :

x - a > C | x - a | x + a

Podemos rescrever e ter:

x - a x + a < x - a C < ε

e consequentemente, podemos novamente colocarmos que:

x - a < C ε

Podemos encontrar esse número C se restringirmos   x a algum intervalo centrado em a .

Se x - a < 1 2 a , então:

- 1 2 a < x - a < 1 2 a

1 2 a < x < 3 2 a

x + a > 1 2 a + a

Sendo assim, C = 1 2 a + a é uma escolha adequada para essa constante positiva, e:

x - a < 1 2 a + a ε

Isso sugere que nós temos

δ = m i n 1 2 a , 1 2 a + a ε

Pois, como comentado, existe uma relação entre δ e ε , e dado um ε precisamos encontrar qual relação é essa. E como δ depende de qual perto estamos de a , temos então uma relação entre esses 3 valores.

Passo 3

Mostrando que o δ sugerido funciona:

Dado que ε > 0 , nós temos δ = m i n 1 2 a , 1 2 a + a ε

Se 0 < x - a < δ :

x - a < 1 2 a

x + a > 1 2 a + a   , como no passo anterior.

Também temos que

x - a < 1 2 a + a ε

Então,

x - a = x - a x + a < a 2 + a ε a 2 + a = ε

Assim sendo, lim x → a ⁡ x = a pela definição de limite.

Resposta

Ver o desenvolvimento

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a ação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.36. Se f ( x ) for uma função racional e x = a estiver no domínio de f , então lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) .
Determine se a ação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.33. Se existirem lim x → a ⁡ f ( x ) e lim x → a ⁡ g ( x ) então também existe lim x → a ⁡ [ f ( x ) + g ( x ) ] .
Encontre os limites.21.underset(y - 6^+)(lim) (y + 6)/(y^2 - 36)
Encontre os limites.25.underset(x - 4^-)(lim) (3 - x)/(x^2 - 2 x - 8)
Encontre os limites.29.underset(x - 9)(lim) (x - 9)/(sqrt(x) - 3)