Enunciado

Verifique que outra escolha possível de δ para mostrar que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 no exemplo $ é δ = min ⁡ 2 , ϵ 8 .

Passo 1

Fala galerinha, aqui temos que fazer uma demonstração!

No exemplo 4 apresentado na seção, mostrou-se que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 tomando-se δ = min ⁡ 2 , ϵ 7 . O enunciado pede agora para demonstrarmos que se tivéssemos escolhido δ = min ⁡ 2 , ϵ 8 , também mostraríamos o limite.

Lembrando a definição de limite, temos que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 se para todo ϵ > 0 , existir um δ > 0 tal que:

0 < x - 3 < δ

x 2 - 9 < ϵ

Ou seja, temos que mostrar que para δ = min ⁡ 2 , ϵ 8 , tomando qualquer ϵ > 0 a relação acima vai valer.

A negócio é sempre partir da inequação onde aparece o ε , e vamos mexer nela até aparecer algo parecido com

0 < x - a < δ

Passo 2

Temos que:

0 < x - 3 < δ

x 2 - 9 < ϵ

No nosso limite:

lim x → 3 ⁡ x 2 = 9

vamos reescrever a relação que deve ser satisfeita:

0 < x - 3 < δ

x - 3 ⋅ | x + 3 | < ϵ

Agora vamos provar que essa escolha de δ serve para demonstrar a relação acima:

Bom, se δ = min ⁡ 2 , ϵ 8 , então

δ ≤ 2 e δ ≤ ϵ 8

Assim, se δ ≤ 2 , então

x - 3 < 2

Tirando do módulo:

- 2 < x - 3 < 2

- 2 + 6 < x - 3 + 6 < 2 + 6

4 < x + 3 < 8

Então, temos que x + 3 < 8 . Por outro lado, δ ≤ ϵ / 8 , de modo que x - 3 < ϵ / 8 . Desta forma,

x - 3 ⋅ x + 3 < ϵ 8 ⋅ 8 = ϵ

Assim, se δ = min ⁡ 2 , ϵ 8 , então

0 < x - 3 < δ ⇒ x - 3 ⋅ | x + 3 | < ϵ

Provamos assim que essa escolha para δ é suficiente para demonstrar o limite.

Resposta

Demonstração.

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