Enunciado

Demonstre que para quaisquer valores a e b a desigualdade s e n   b   -   s e n   a   < | b   -   a | é verdadeira

Passo 1

Tomemos a função f x = s e n ( x ) e sua derivada f ' x = c o s ⁡ ( x ) como base para demonstrar a desigualdade apresentada acima. Considerando que a função s e n ( x ) é contínua em um intervalo [a, b], ela satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio que usaremos como base para solução do problema.

Passo 2

Como conclusão do teorema do valor médio , dadas as condições acima , sabemos que deve haver pelo menos um ponto C dentro do intervalo [a, b] tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Para o nosso caso,

s e n b - s e n a b - a = c o s ( c )

Passo 3

Como nossa função cosseno é limitada, podemos fazer o seguinte

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

- 1 ≤ cos ⁡ c ≤ 1   ( i )

Mas

s e n b - s e n a b - a = c o s ( c )

Substituindo em ( i ) temos

- 1 ≤ s e n b - s e n a b - a ≤ 1

Se lembrarmos da função modular, poderemos reescrever a desigualdade da seguinte forma

s e n b - s e n a b - a ≤ | 1 |

Como o módulo da divisão é a divisão dos módulos teremos

s e n b - s e n a b - a ≤ 1

Por fim, se passarmos | b - a   | multiplicando ficaremos com

s e n b - s e n a ≤ 1 * | b - a |

s e n b - s e n a ≤ | b - a |

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todas as funções possíveis com a derivada y '= x .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y '= x 2 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 2 x - 1 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 3 x 2 + 2 x - 1 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 5 +1 x 2 .