Enunciado

Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 3 x 2 + 2 x - 1 .

Passo 1

Queremos saber todas as funções cuja derivada é 3 x 2 + 2 x - 1 , para isso aplicaremos o raciocínio inverso ao da derivada, aplicando as regras de derivação da maneira inversa, e utilizaremos a propriedade que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas.

Passo 2

Se lembrarmos da derivação de polinômios temos que se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 , então, no nosso caso, pegando a função que nos foi dada no enunciado percebemos que para sua derivada resultar em 3 x 2 + 2 x   - 1 é porque antes de derivarmos ela tinha expoente 3 para 3x², 2 para o 2 x e expoente 1 para o número 1.

Passo 3

Dessa forma, a nossa função inicial tinha uma aparência do tipo f x = x 3 + x 2 - x . No entanto, como o enunciado quer todas as funções cuja derivada resulta em   3 x 2 + 2 x - 1 , devemos lembrar que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( x ) obtemos uma função diferente, logo, para generalizarmos e conseguirmos todas as funções cuja derivada é 3 x 2 + 2 x - 1 , tomemos f x = x 3 + x 2 - x + C , sendo C uma constante numérica.

Resposta

∴ f x = x 3 + x 2 - x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que função g t = t + 1 + t - 4 , tem exatamente uma raíz no interior do intervalo (0, ∞ ).
Determine a função cuja derivada é r ’ t = sec ⁡ t * t g t - 1 e cuja curva passe pelo ponto P ( 0 ,0 ) .
Suponha que f ' x = 2 x para todo x. Determine f ( 2 ) se f - 2 = 3 .
Determine a função cuja derivada é g ’ x = 1 x 2 +2 x e cuja curva passe pelo ponto P ( - 1,1 ) .
Suponha que f ' x = 2 x para todo x. Determine f ( 2 ) se f 1 = 0 .