Enunciado

Determine todas as funções possíveis com a derivada y '   = x .

Passo 1

Queremos saber todas as funções cuja derivada é x , para isso aplicaremos o raciocínio inverso ao da derivada, tentando utilizar as regras de derivação da maneira inversa.

Passo 2

Pegando a função que nos foi dada no enunciado percebemos que para sua derivada resultar em x elevado ao expoente 1 é porque antes de derivarmos ela tinha expoente 2. Porém, se lembrarmos da derivação de polinômios temos que se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 , então, no nosso caso , como já descobrimos que a função original estava elevada ao quadrado é natural esperarmos que houvesse um 2 multiplicando f ' x , se esse número não está presente é porque na função inicial tínhamos um 2 dividindo tudo.

Passo 3

Dessa forma, a nossa função inicial tinha uma aparência do tipo f x = x 2 2 . No entanto, como o enunciado quer todas as funções cuja derivada resulta em x, devemos lembrar que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( x ) obtemos uma função diferente, logo, para generalizarmos e conseguirmos todas as funções cuja derivada é x , tomemos f x = x 2 2 + C , sendo C uma constante numérica.

Resposta

∴ f x = x 2 2 + C

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Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 1 - 1 x 2 .
Mostre que um polinômio cúbico pode ter no máximo três raízes reais.
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = - 1 x 2 .
O que pode ser dito sobre funções cujas derivadas são constantes? Justifique sua resposta.
Suponha que f ( 0 )=5 e que f ' ( x )=2 para todo x . Obrigatoriamente, f ( x )=2 x+5 para todox ? Justifique sua resposta.