Enunciado

Demonstre que a série obtida no Exercício 7 representa sen ⁡ π x para todo x .

Passo 1

Provavelmente ocorreu um erro na formatação ou tradução do livro, pois no exercício 7 encontramos a série

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Mas o livro pede que demonstremos para a série

sen ⁡ π x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1

Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro R n → 0 para todo x , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Como o centro é x = 0

R n x ≤ M n + 1 ! x n + 1

Passo 2

Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de f ( x ) , como temos sen ⁡ π x se derivarmos varias vezes, chegaremos em ± sen ⁡ π x ou ± cos ⁡ π x , mas como temos uma constante multiplicando no argumento, pela regra da cadeia, sempre que derivarmos vamos multiplicar essa constante, então se derivarmos uma vez

f ' x = π cos ⁡ π x

Se derivarmos novamente

f ' ' x = - π 2 sen ⁡ π x

Então de forma geral

f n + 1 x = ±   π n + 1 sen ⁡ π x ou f n + 1 x = ±   π n + 1 cos ⁡ π x

Como queremos a derivada em módulo, não precisamos nos preocupar com os sinais. Então precisamos achar M ≥ f n + 1 x , de modo geral as funções seno e cosseno em módulo são ≤ 1 , então se multiplicarmos por π n + 1 serão ≤ π n + 1 , portando podemos dizer que f n + 1 x ≤ π n + 1 e usamos

M = π n + 1

Passo 3

Então na desigualdade temos

R n x ≤ π n + 1 n + 1 ! x n + 1

Como π é um valor positivo, podemos colocar ele dentro do módulo para juntarmos as potencias de n + 1

R n x ≤ π x n + 1 n + 1 !

Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo

g x = x n n !

Quando n → ∞ temos que g x → 0 , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão, podemos dizer que ele vai para 0 , então por comparação temos que

lim n → ∞ ⁡ R n x = 0

Logo, a série

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1

representa a função sen ⁡ π x para todo x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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