Enunciado

Demonstre que a série obtida no Exercício 18 representa sen ⁡ x para todo x .

Passo 1

No exercício 18 encontramos a série

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n

Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro R n → 0 para todo x , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Como o centro é x = π / 2

R n x ≤ M n + 1 ! x - π 2 n + 1

Passo 2

Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de sen ⁡ x , se derivarmos varias vezes, chegaremos em ± sen ⁡ x ou ± cos ⁡ x então de forma geral

f n + 1 x = ±   sen ⁡ x ou f n + 1 x = ±   cos ⁡ x

Como queremos a derivada em módulo, não precisamos nos preocupar com os sinais. Então precisamos achar M ≥ f n + 1 x , de modo geral as funções seno e cosseno em módulo são ≤ 1 , portando podemos dizer que f n + 1 x ≤ 1 e usamos

M = 1

Então na desigualdade temos

R n x ≤ 1 n + 1 ! x - π 2 n + 1

Passo 3

Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo

g x = x n n !

Quando n → ∞ temos que g x → 0 , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão já que g x → 0 para todo x real, e x - π / 2 é real, podemos dizer que ele vai para 0 , então por comparação temos que

lim n → ∞ ⁡ R n x = 0

Logo, a série

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n

representa a função sen ⁡ x para todo x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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