Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 27
Demonstre que a série obtida no Exercício 18 representa para todo .
Passo 1
No exercício 18 encontramos a série
Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro para todo , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se , então
Como o centro é
Passo 2
Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de , se derivarmos varias vezes, chegaremos em ou então de forma geral
ou
Como queremos a derivada em módulo, não precisamos nos preocupar com os sinais. Então precisamos achar , de modo geral as funções seno e cosseno em módulo são , portando podemos dizer que e usamos
Então na desigualdade temos
Passo 3
Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo
Quando temos que , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão já que para todo real, e é real, podemos dizer que ele vai para , então por comparação temos que
Logo, a série
representa a função para todo .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)