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Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.

Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Precisamos decidir se é melhor usar coordenas esféricas ou cilíndricas para calcular tanto o volume como o centro de massa do sólido. Como ele é limitado por uma esfera, me parece mais lógico usar coordenadas esféricas. Teríamos assim 0 ≤ ρ ≤ 1 . Vamos ver como fica a equação do cone nessas coordenadas:

z 2 = x 2 + y 2 ⇒ ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2   s e n 2 ϕ   ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ )

Assim,

s e n   ϕ = cos ⁡ ϕ ⇒ ϕ = π / 4

Desta forma, pegando apenas a parte de cima do cone, temos que o sólido é limitado por 0 ≤ ϕ ≤ π / 4 , enquanto θ pode variar livremente de 0 a 2 π . Assim, o volume será

V = ∭ D d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ 0 1 ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Já para o centro de massa, note que como o eixo de simetria do sólido está na direção z e vamos supor que a distribuição de massa é uniforme (densidade constante), temos que x - = y - = 0 . Assim, resta

z - = 1 V ∭ D z   d V = 1 V ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ 0 1 ρ 3 cos ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Passo 2

Calculando a integral em θ :

V = 2 π   ∫ 0 1 ρ 2   d ρ ∫ 0 π 4 s e n   ϕ   d ϕ

Assim,

V = 2 π ⋅ 1 3 ⋅ - cos ⁡ ϕ 0 π 4 = 2 π 3 1 - 2 2 = π 2 - 2 3

Passo 3

Para o centroide,

z - = 2 π V ∫ 0 1 ρ 3   d ρ ∫ 0 π 4 s e n   2 ϕ 2   d ϕ

Usei que s e n   2 x = 2   s e n   x cos ⁡ x . Fazendo as integrais,

z - = 2 π V ⋅ 1 4 ⋅ - cos ⁡ 2 ϕ 4 0 π 4 = π 2 V ⋅ 1 4 = 1 8 ⋅ π V

Usando que

π V = 3 2 - 2 ,

temos que

z - = 3 8 2 - 2

Resposta

V = π 2 - 2 3       e     0 ,   0 , 3 8 2 - 2  

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Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫
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