Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 35
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.
Determine o volume e o centroide do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera .
Passo 1
Precisamos decidir se é melhor usar coordenas esféricas ou cilíndricas para calcular tanto o volume como o centro de massa do sólido. Como ele é limitado por uma esfera, me parece mais lógico usar coordenadas esféricas. Teríamos assim . Vamos ver como fica a equação do cone nessas coordenadas:
Assim,
Desta forma, pegando apenas a parte de cima do cone, temos que o sólido é limitado por , enquanto pode variar livremente de a . Assim, o volume será
Já para o centro de massa, note que como o eixo de simetria do sólido está na direção e vamos supor que a distribuição de massa é uniforme (densidade constante), temos que . Assim, resta
Passo 2
Calculando a integral em :
Assim,
Passo 3
Para o centroide,
Usei que . Fazendo as integrais,
Usando que
temos que
Resposta
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