Enunciado

Dentre todas as regiões retangulares 0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ b , encontre aquela para a qual o fluxo exterior total de F = x 2 + 4 x y i - 6 y j atraves dos quatro lados é minimo. Qual é o fluxo minimo?

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sendo, M = x 2 + 4 x y     e     N = - 6 y

∂ M ∂ x = 2 x + 4 y       e   ∂ N ∂ y = - 6

Com isso o fluxo vai ficar,

∫ 0 b ∫ 0 a 2 x + 4 y - 6 d x d y = ∫ 0 b a 2 + 4 a y - 6 a d y = a 2 b + 2 a b 2 - 6 a b

Agora iremos ter que minimizar a função que vai ficar,

F a , b = a 2 b + 2 a b 2 - 6 a b = a b ( a + 2 b - 6 )

Com isso,

F a a , b = 2 a b + 2 b 2 - 6 b = 0

F b a , b = a 2 + 4 a b - 6 a = 0

b 2 a + 2 b - 6 = 0

Ficando assim, b = 0     o u   b = - a + 3

Passo 2

Agora tendo o valor de b vamso ter que achar o valor de a que vai ficar assim,

b = 0 → a 2 - 6 a = 0 , a = 0     o u     a = 6 → 0,0   e   6,0 que são pontos críticos.

Por outro lado com,

b = - a + 3 → a 2 + 4 a - a + 3 - 6 a = 0 →   - 3 a 2 + 6 a = 0

a = 0     o u     a = 2 → 0,3   e   2,1   os pontos críticos

Com isso,

F 0,0 = 0

F 6,0 = 0

F 0,3 = 0

F 2,1 = - 4

Então com isso vamos ter como fluxo minimo:

F 2,1 = - 4

Resposta

fluxo minimo: F 2,1 = - 4

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