Enunciado

Dentre todos os solidos retangulares definidos pelas desigualdades 0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ b ,   0 ≤ z ≤ 1 , encontre aquele para o qual o fluxo exterior total de F = - x 2 - 4 x y i - 6 y z j + 12 z k   atraves dos seis lados seja maior. Qual e o maior fluxo?

Passo 1

Falaaaaaa ai meus amigos tudo blz?

Então nessa questão sabendo que o

∇ . F =   - 2 x - 4 y - 6 z + 12

Vamos ter que o fluxo máximo é:

∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 1 - 2 x - 4 y - 6 z + 12 d z d y d x

= ∫ 0 a ∫ 0 b - 2 x - 4 y + 9 d y d x

= ∫ 0 a - 2 x b - 2 b 2 + 9 b d x

= a 2 b - 2 a b + 9 a b = a b - a - 2 b + a = f ( a , b )

Com isso,

∂ F ∂ a = - 2 a b - 2 b 2 + a b  

∂ F ∂ b = - a 2 - 4 a b + 9 b

∂ F ∂ a = 0       e     ∂ F ∂ b = 0

b ( - 2 a - 2 b + 9 ) = 0

a - a - 4 b + 9 = 0

Passo 2

Sendo ,

b = 0     o u   - 2 a - 2 b + 9 = 0

a = 0           o u     - a - 4 b + 9 = 0

Com o fluxo igual a 0,

- 2 a - 2 b + 9 = 0     e   - a - 4 b + 9 = 0

Temos que,

3 a - 9 = 0

a = 3 ,     b = 3 2 , para F 3   , 3 2 = 27 3   que é o fluxo máximo

Resposta

a = 3 ,     b = 3 2 , para F 3   , 3 2 = 27 3   que é o fluxo máximo

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