Enunciado

A derivada parcial de quinta ordem ∂ 5 ƒ ∂ x 2 ∂ y 3 é zero para cada uma das funções a seguir. Para mostrar isso o mais rapidamente possível, em relação a qual variável você diferencia primeiro: x ou y? Tente responder sem fazer anotações.

Passo 1

  1. Quando derivamos f x , y em relação a y, tratamos x 4 e x     como constante, então não precisamos usar a regra do produto. Então ∂ f ∂ y = 2 y x 4 e x
  2. Agora, quando derivamos ∂ f ∂ y em relação a y novamente tratamos 2 x 4 e x como constante, portanto, novamente, não precisamos usar a regra do produto. Finalmente, quando derivamos ∂ 2 f ∂ y 2 em relação a y tratamos 2 x 4 e x como constante, então ∂ 3 f ∂ y 3 = 0   . Portanto, derivaríamos usando y primeiras três vezes.

    Passo 2

  3. Quando derivamos f ( x , y ) e relação a y tratamos sin ⁡ x - x 4 como constante, então nós não precisamos usar a regra do produto.
  4. Então temos ∂ f ∂ y = 2 y + sin ⁡ x - x 4

    Agora, quando derivamos ∂ f ∂ y em relação a y nós tratamos x - x 4 como constante, então nós temos ∂ 2 f ∂ y 2 = 2 .

    Finalmente, quando derivamos ∂ 2 f ∂ y 2 em relação a y temos que ∂ 3 f ∂ y 3 = 0

    Portanto, derivaríamos usando y primeiras três vezes.

  5. Quando derivamos f ( x , y ) em relação a y, tratamos x , x 2 , s i n   x , e 7 e x como constantes, então obtemos ∂ f ∂ y y = 5 x . Agora, quando derivamos ∂ f ∂ y em relação a y obtemos ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 . Portanto, derivaríamos usando y primeiro duas vezes.
  6. Quando derivamos f ( x , y ) em relação a x tratamos e y 2 2 como constante, então não precisamos usar a Regra do Produto. Então obtemos ∂ f ∂ x = e y 2 / 2 . Agora, quando derivamos ∂ f ∂ x em relação a x obtemos ∂ 2 f ∂ x 2 = 0 .

Portanto, derivaríamos usando x primeiro duas vezes.

Resposta

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