1.

Sabendo que z = s i n   x + s i n   y     , mostre que

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

Resolução
2.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem e a derivada mista de segunda ordem da função:

f x , y = e x y + x ln ⁡ y 2

Resolução
3.

Se

f x , y = x y e x y

Mostre que

x ∂ 3 f ∂ x 3 + y ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = 0

Resolução
4.

Dada f uma função diferenciável de u e u = a ( x + c t ) , onde a é uma constante.

Mostre que a função w = f ( u ) é solução da equação de onda w t t = c 2 w x x

Resolução
5.

Sejam f , g : R → R funções diferenciáveis. Mostre que u x , t = f x + a t + g x - a t , em que a ≠ 0 , satisfaz a equação de onda u t t = a 2 u x x .

Resolução
6.

Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de

z = f x , y = x 3 + 2 y 3 + 3 x 2 y 2

Resolução
7.

Sejam f , g : R → R funções diferenciáveis. Mostre que u x , t = f x + a t + g x - a t , em que a ≠ 0 , satisfaz a equação de onda u t t = a 2 u x x .

Resolução
8.

Sabendo que z = sin ⁡ x + sin ⁡ y , mostre que

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

Resolução
9.

Seja

f x , y = e sen ⁡ x + x 5 y + ln ⁡ 1 + y 2

Então ∂ 2 f ∂ x ∂ y é igual a:

a 2 y 1 + y 2

b 5 x 4

c 20 x 3 y

d e sen ⁡ x cos ⁡ x

e e sen ⁡ x cos ⁡ x + x 5 + 2 y 1 + y 2

Resolução
10.

Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função

f x , y = x y e y 2

Resolução
12.

Uma função

z = f ( x 1 , … . , x n )

É harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Mostre que a função

z = f x , y = x 3 - 3 x y ²

É harmônica.

Resolução
13.

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y =   ln ⁡ x 2 + y ²

Resolução
14.

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y = x 2 - y ²

Resolução
15.

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y = y 3 + 3 x ² y

Resolução
16.

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y , z = e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ z

Resolução
17.

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y = arctan ⁡ x y

Resolução
18.

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y =   ln ⁡ x y

Resolução
19.

Verifique que

v = sen ⁡ k x ∙ sen ⁡ a k   t

Satisfaz a equação da onda

∂ 2 v ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 v ∂ x 2

Resolução
20.

Responda os itens a seguir.

Seja função

f x , y = x e y + ln ⁡ y + 1 x 2 y + 1

Calcule as derivadas parciais f x ,   f y ,   f y x e f y y .

Resolução
21.

Seja u r , θ = e r θ s e n θ , determine ∂ 3 u ∂ r 2 ∂ θ

Resolução
22.

Considere as seguintes afirmativas sobre a equação

f x x - f x y + f x z - f y x - f y z - f z x + f z y = 0

  1. f = sen ⁡ ( 2 x + y + z ) é uma solução.
  2. f = e x + 2 y cos ⁡ z 2 é uma solução.
  3. f = x 2 y + y 2 sec ⁡ z 2 é uma solução.

Assinale a alternativa correta:

  1. A afirmativa I é a única correta
  2. A afirmativa II é a única correta
  3. Todas as afirmativas são falsas
  4. Todas as afirmativas são corretas
  5. A afirmativa III é a única correta
Resolução
23.

Verifique se a função

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

Satisfaz a equação de Laplace

f x x + f y y = 0

Resolução
24.

Será que existe uma função continuamente diferenciável z = f ( x , y ) cujas derivadas parciais sejam

∂ f ∂ x = x + 4 y

∂ f ∂ y = 3 x - y

a NÃO, pois se m = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) e n = ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) então deveria valer m n = - 1 para todo x 0 , y 0 , o que é falso.

b NÃO, uma vez que ∂ 2 f ∂ x ∂ y ≠ ∂ 2 f ∂ y ∂ x

c NÃO, pois ∂ 2 f ∂ x 2 = 1 e ∂ 2 f ∂ y 2 = - 1 , o que não ocorre para funções polinomiais

d SIM, pois uma função z = f ( x , y ) possui dois graus de liberdade, definidos pelas variáveis x e y . Esses dois graus de liberdade geram dois graus de liberdade para as derivadas parciais.

e SIM, bastando para isso ajustar as constantes de integração em ∫ ∂ f ∂ x   d x e em ∫ ∂ f ∂ y   d y

Resolução
25.

Sejam g e h duas funções continuamente diferenciáveis em R e seja f a função definida por

f x , y = e x y + g x h y + g x + h ( y )

Então ∂ 2 f ∂ y ∂ x é igual a

  1. 1 + x y e x y + g ' ' x h ( y ) + g x h ' ' ( y )
  2. 1 + x y e x y + g ' x h ' ( y )
  3. x y e x y + g ' x h ' ( y )
  4. x y e x y + g ' x h ' y + g ' ' x + h ' ' ( y )
  5. 1 + x + y e x y + g ' ' x h y + g ' x h ' y + g x h ' ' ( y )
Resolução
26.

A equação de Laplace tridimensional é:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0

As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.

Considere as funções:

  1. f x , y , z = x 2 + y 2 - 2 z 2
  2. f x , y , z = sen ⁡ ( 2 x ) + cos ⁡ 2 y - 2 z 2
  3. f x , y , z = 2 . sen 2 ⁡ x y + 2 . cos 2 ⁡ x y - 2 z 2
  4. f x , y , z = x y + x z + y z
  5. f x , y , z = ln ⁡ x y - x / y + x y - x y z 2

Identifique as funções harmônicas:

  1. 1,2 , 3
  2. 1,2 , 5
  3. 1,3 , 5
  4. 1,2 , 4
  5. 1,3 , 4
Resolução
27.

Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função

f x , y = ln ⁡ x + 2 y + e x y

Resolução
28.

Seja f :   R 2 → R uma função qualquer. Assinale a única afirmação falsa.

a) Se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 ,   y 0 existe, então ∂ 2 f ∂ y ∂ x x 0 ,   y 0 também existe.

b) Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são funções de classe C 2 em R 2 , então para todo x ,   y ∈ R 2 tem-se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y .

c) Se f é uma função de classe C 2 em R 2 , então as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são diferenciáveis em R 2 .

d) Se ∂ f ∂ u x 0 ,   y 0 = 0 para todo vetor unitário u → ∈ R 2 , então ∇ f x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 .

e) Se f x ,   y ≤ x 2 + y 2 para todo x ,   y ∈ R 2 , então f é diferenciável em 0 ,   0 .

Resolução

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