Derive.

y = x \* e^(3x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = e 3 x

x e 3 x ' = f ' x g x + g ' x f x = x ' ⋅ e 3 x + e 3 x ' ⋅ x

Passo 2

Para calcular f ' ( x ) usamos a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' x = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Passo 3

Usamos a regra da função exponencial, a do polinômio e da cadeia pra calcular g ' ( x ) :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ' ( x )

Assim:

g ' ( x ) = e 3 x ' = e 3 x ⋅ 3 x ' = e 3 x ⋅ 3 x 1 - 1 = e 3 x ⋅ 3 x 0 = e 3 x ⋅ 3.1 = 3 e 3 x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = x e 3 x ' = x ' ⋅ e 3 x + e 3 x ' ⋅ x = 1 ⋅ e 3 x + 3 e 3 x ⋅ x = e 3 x + 3 x e 3 x

Resposta

y ' = e 3 x + 3 x e 3 x

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