Enunciado

Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada da função dada.

13 .     f x = x x 3 + 1 3

Passo 1

Primeiro vamos mudar um pouco a função para tornar mais simples a derivação:

f x = x x 3 + 1 3 = x x 3 + 1 1 3

Pronto, agora é só derivar!

Usaremos a regra do “tombo” e regra do quociente para fazer a derivada da função.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g x - g x ' ⋅ f x g x 2

Regra do “tombo”:

x n ' = n ⋅ x n - 1 ⋅ x '

Passo 2

f ' x = 1 3 ⋅ x x 3 + 1 - 2 3 ⋅ x ' ⋅ ( x 3 + 1 ) - x 3 + 1 ' ⋅ x x 3 + 1 2

                      = 1 3 ⋅ x x 3 + 1 - 2 3 ⋅ 1 ⋅ ( x 3 + 1 ) - ( 3 ⋅ x 2 ) ⋅ x x 3 + 1 2

                      = 1 3 ⋅ x x 3 + 1 - 2 3 ⋅ x 3 + 1 - 3 x 3 x 3 + 1 2

                    = 1 - 2 x 3 3 x x 3 + 1 2 3 x 3 + 1 2

Resposta

f ' x = 1 - 2 x 3 3 x x 3 + 1 2 3 x 3 + 1 2

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26. Dada x 2 + 25 y 2 = 100 , mostre que d 2 y d x 2 = - 4 25 y 3
27. Dada x 3 + y 3 = 1 , mostre que d 2 y d x 2 = - - 2 x y 5