Derive.

y = x \* ln(2x + 1)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = ln ⁡ 2 x + 1

x ln ⁡ 2 x + 1 ' = f ' x g x + g ' x f x = x ' ⋅ ln ⁡ 2 x + 1 + ln ⁡ 2 x + 1 ' ⋅ x

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função logarítmica natural, do polinômio e da função constante, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Para calcular f ' x vamos usar a regra do polinômio:

f ' ( x ) = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Com g ' ( x ) usamos a regra da função logarítmica natural, da função constante e a do polinômio:

g ' x = ln ⁡ 2 x + 1 ' = 1 2 x + 1 ⋅ 2 x + 1 ' = 1 2 x + 1 ⋅ 2 x 1 - 1 + 0   = 1 2 x + 1 ⋅ 2 x 0   = 1 2 x + 1 ⋅ 2 ⋅ 1   = 2 2 x + 1

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = x ln ⁡ 2 x + 1 ' = 1 ⋅ ln ⁡ 2 x + 1 + 2 2 x + 1 ⋅ x = ln ⁡ 2 x + 1 + 2 x 2 x + 1

Resposta

y ' = ln ⁡ 2 x + 1 + 2 x 2 x + 1

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