Calcule a derivada segunda.

f(x) = (4x + 5) / (x^2 - 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y ' :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = 4 x + 5

e

g x = x 2 - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = 4 x + 5 x 2 - 1 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 4 x + 5 ' x 2 - 1 - 4 x + 5 x 2 - 1 ' x 2 - 1 2 = 4 x 1 - 1 + 0 x 2 - 1 - 4 x + 5 2 x 2 - 1 - 0 x 2 - 1 2 = 4 x 0 x 2 - 1 - 4 x + 5 2 x x 2 - 1 2 = 4 ⋅ x 2 - 1 - 8 x 2 - 10 x x 2 - 1 2 = 4 x 2 - 4 - 8 x 2 - 10 x x 2 - 1 2 = - 4 x 2 - 1 0 x - 4 x 2 - 1 2

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = - 4 x 2 - 10 x - 4

e

g x = x 2 - 1 2

Assim:

y ' ' = y ' ' = - 4 x 2 - 10 x - 4 x 2 - 1 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = - 4 x 2 - 10 x - 4 ' x 2 - 1 2 - - 4 x 2 - 10 x - 4 x 2 - 1 2 ' x 2 - 1 2 2 = - 2 ⋅ 4 x 2 - 1 - 10 x 1 - 1 - 0 x 2 - 1 2 - - 4 x 2 - 10 x - 4 2 x 2 - 1 2 - 1 x 2 - 1 ' x 2 - 1 4 = - 8 x - 10 x 0 x 2 - 1 2 - 2 - 4 x 2 - 10 x - 4 x 2 - 1 2 x 2 - 1 - 0 x 2 - 1 4 = - 8 x - 10 ⋅ 1 x 2 - 1 - 2 - 4 x 2 - 10 x - 4 2 x x 2 - 1 3 = - 8 x 3 + 8 x - 10 x 2 + 10 + 16 x 3 + 40 x 2 + 16 x x 2 - 1 3 = 8 x 3 + 30 x 2 + 24 x + 10 x 2 - 1 3

Resposta

y ' ' = 8 x 3 + 30 x 2 + 24 x + 10 x 2 - 1 3

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