Enunciado

Derive f e encontre o domínio de f.

f (x) = sqrt(2 + ln x)

Passo 1

É mais complicado derivar raiz, ne?

Então podemos fazer algo para facilitar o calculo da nossa derivada, note que:

f (x) = sqrt(2 + ln x) = (2 + ln x)^(1 // 2)

Assim, por substituição, podemos calcular sua derivada com mais facilidade:

Seja:

u = 2 + ln x

Ficamos com:

(u)^(1 // 2)

Agora basta derivarmos do jeito que sabemos, pela regrinha do tombo:

(1)/(2) (u)^(- 1 // 2)

Voltando para a variável x , temos que:

f ' (x) = (1)/(2) ( 2 + ln x )^(- (1)/(2)) * (1)/(x) = (1)/(2 x sqrt(2 + ln x))

Passo 2

E seu domínio é:

d o m (f) = {x,2 + ln x >= 0} = { x | ln x >= - 2 } = { x |x >= e^(- 2)} = [ e^(- 2) , oo )

Resposta

f^' (x) = (1)/(2 x sqrt(2 + ln x))

d o m (f) = [ e^(- 2) , oo )

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