Encontre dy/dx:

y = (x^2 + x)^5 \* sen^8(x)

Passo 1

Animados para seguir?

Antes de qualquer coisa vamos chamar:

f x = x 2 + x 5

g x = sen 8 ⁡ x

E lembrando da Regra do Produto:

d y d x = g x . d f ( x ) d x + f ( x ) . d g ( x ) d x

Para facilitar nós vamos chamar:

u = x 2 + x

v = sen ⁡ x

Então:

f u = u 5

g v = v 8

Lembrando da Regra da Cadeia:

d f ( x ) d x = d f ( u ) d u . d u d x

d g ( x ) d x = d g ( v ) d v . d v d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x e d v d x :

d u d x = 2 x + 1

d v d x = cos ⁡ x

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) em função de u :

d f ( u ) d u = 5 u 4

d g ( v ) d v = 8 v 7

E por fim:

d f ( x ) d x = 5 u 4 . 2 x + 1

d g ( x ) d x = 8 v 7 . cos ⁡ x

Substituindo u e v :

d f ( x ) d x = 5 x 2 + x 4 2 x + 1

d g ( x ) d x = 8 sen 7 ⁡ x cos ⁡ x

E agora voltamos lá na Regra do Produto:

d y d x = sen 8 ⁡ x . 5 x 2 + x 4 2 x + 1 + x 2 + x 5 . 8 sen 7 ⁡ x cos ⁡ x

d y d x = 5 x 2 + x 4 2 x + 1 sen 8 ⁡ x + 8 sen 7 ⁡ x cos ⁡ x x 2 + x 5

d y d x = x 2 + x 4 sen 7 ⁡ x 5 2 x + 1 . sen ⁡ x + 8 cos ⁡ x x 2 + x

E finalizamos mais umaa !!

Resposta

d y d x = x 2 + x 4 sen 7 ⁡ x 5 2 x + 1 . sen ⁡ x + 8 cos ⁡ x x 2 + x

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