Enunciado

Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado.

x = 5 sen ⁡ t

y = 2 cos ⁡ t

- π ≤ t ≤ 5 π

Passo 1

Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Assim

y 2 2 + x 5 2 = 1

Que é a equação de uma elipse centrada no ponto ( 0,0 ) , com semieixo horizontal 5 e semieixo vetical 2 .

Passo 2

Temos que ficar atentos ao intervalo de parametrização:

- π ≤ t ≤ 5 π

Assim, quando t = - π temos

x = 5 sen ⁡ ( - π ) = 0

y = 2 cos ⁡ ( - π ) = - 2

E quando t = 5 π temos

x = 5 sen ⁡ ( 5 π ) = 0

y = 2 cos ⁡ ( 5 π ) = - 2

O mesmo ponto ( 0 , - 2 ) !!

Isso significa que a partícula começa e termina sua trajetória no ponto P i = P f = ( 0 , - 2 ) . Ou seja, ela dá pelo menosuma volta completa.

Mas vamos olhar de novo o intervalo de parametrização:

- π ≤ t ≤ 5 π

Ora, se

t i = - π

t f = 5 π

Significa que

t f = t i + 3 × 2 π = - π + 6 π = 5 π

Ou seja, nossa partícula não dá só uma volta completa, ela dá TRÊS voltas completas na elipse!

Passo 3

Mas e o sentido da trajetória?

Ela se move no sentido horário ou anti-horário?

Bom, de novo vamos ter que olhar o intervalo de parametrização.

- π ≤ t ≤ 5 π

Se tá difícil descobrir, podemos simplesmente testar. Vamos pegar um valor de t 2 > t i

t 2 = - π + π 2 = - π 2

Temos

x = 5 sen ⁡ - π 2 = - 5

y = 2 cos ⁡ - π 2 = 0

Então a partícula foi do ponto ( 0 , - 2 ) para o ponto ( - 5,0 ) , ou seja, ela está se movendo no sentido horário!

Resposta

A partícula se move no sentido horário ao longo da elipse

y 2 2 + x 5 2 = 1

Do ponto   P i = P f = ( 0 , - 2 ) , dando três voltas completas.

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Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado. x = sen ⁡ t y = cos 2 ⁡ t - 2 π ≤ t ≤ 2 π
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Nos Exercícios 21-26, encontre uma parametrização para a curva:o segmento de reta com extremidades (-1, 3) e (3, -2).