Enunciado

1 - Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.

m -

f x ,   y = 1 1 - x 2 - y 2 ,     x 2 + y 2 < 1

Passo 1

L e t r a   M :

Bem, sabemos que uma curva de nível k pode ser encontrada fazendo z = f x ,   y = k . Nesse caso...

k = 1 1 - x 2 - y 2   →

1 - x 2 - y 2 = 1 k

Elevando o quadrado...

1 - x 2 - y 2 = 1 k 2       →

x 2 + y 2 = 1 - 1 k 2

CARA! O que é isso aí? SIMMMM!

Como k é sempre constante, x 2 + y 2 = 1 - 1 k 2 são circunferências!

Agora repare que não são todas as circunferências! O menor valor de k possível é k = 1 , onde temos a origem, já nesse caso x 2 + y 2 = 0 (o ponto 0,0 ). Mas a medida que k vai avançando para o infinito, vamos tendo circunferências de diferentes raios se aproximando do raio r = 1 , mas sempre menor que ele!

Vamos desenhar algumas delas aqui então:

Para k = 1 (amarelo), k = 2 (vermelho) e k = 3 (verde):

Repare o quão próximo do raio r = 1 estamos! E se você almetar k ainda mais, mais próximo você ficará! Mas nunca vai ser maior do que ou igual a 1 !

Resposta

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