1.

Faça o esboço do mapa de contorno e do gráfico da função e compare-os.

f x , y = x 2 + 9 y 2

Resolução
2.

Cada uma das figuras abaixo representa uma superfície. Na coluna 1 da tabela, temos uma equação para cada uma dessas superfícies. Cada superfície contém a imagem de uma das curvas da coluna 2 . Escreva abaixo de cada figura qual é a curva cuja imagem está contida na superfície que ela representa:

Resolução
3.

Em cada parte, associe o mapa de contorno com uma das funções

f x , y = x 2 + y 2

f x , y = x 2 + y 2

f x , y = 1 - x 2 - y 2

por inspeção, e explique seu raciocínio. Quanto maior o valor de z , mais clara fica a cor no mapa de contorno e os contornos correspondem a valores igualmente espaçados de z .

Resolução
4.

Um mapa de contorno de uma função é mostrado. Use-o para fazer um esboço do gráfico da f .

Resolução
5.

Na figura estão representadas curvas de nível da função f x , y . Escreva uma expressão adequada para f .

Resolução
6.

Considere f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 . Determine:

  1. O domínio de f x , y ;
  2. As curvas de nível e o gráfico de f x , y ;
Resolução
7.

Considere a função

f x , y = 7 - x 2 + y 2 ,     0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 25 - x 2 - y 2 ,     16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25

a) Esboce o gráfico de z = f x , y .

b) Identifique a curva de nível que contém o ponto P 0 = 1 ,   3 .

Resolução
8.

Os mapas de contorno abaixo (figuras A , B e C ) correspondem a que gráficos (figura I , I I , I I I ou I V )?

  1. A → I V , B → I , C → I I
  2. A → I I , B → I V , C → I
  3. A → I , B → I I , C → I V
  4. A → I I I , B → I , C → I I
  5. A → I I , B → I I I , C → I
  6. A → I , B → I I , C → I I I
Resolução
9.

Cada uma das figuras abaixo representa uma superfície. Na coluna 1 da tabela, temos uma equação para cada uma dessas superfícies. Cada superfície contém a imagem de uma das curvas da coluna 2 . Escreva abaixo de cada figura qual é a curva cuja imagem está contida na superfície que ela representa:

Resolução
10.

b) Seja S a superfície de equação - 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

b1) Estude a intersecção de S com cada plano x = k e com o plano y = 1 . Esboce S .

b2) Encontre uma parametrização para a intersecção de S com o plano 2 x + y = 2 .

Resolução
14.

Na figura 1 temos, respectivamente, o desenho das curvas de nível das seis funções a seguir.

Faça a associação destas seis curvas de nível com cada um dos seis gráficos apresentados na figura 2

  1. z = f 1 x , y = sen ⁡ x y / x y
  2.   z = f 2 x , y = e - x 2 + e - 4 y 2
  3. z = f 3 x , y = 15 x 2 y 2 e - x 2 - y 2 / x 2 + y 2
  4. z = f 4 x , y = x y 3 - x 3 y / 2
  5. z = f 5 x , y = sen ⁡ x 2 + y 2
  6. z = f 6 x , y = y 4 - 8 y 2 - 4 x 2 / 21

f i g u r a   1 :   c u r v a s   d e   n í v e l

f i g u r a   2 : G r á f i c o s

Resolução
15.

Resolva as questões abaixo:

  1. Faça o gráfico da função y = f x = x ² . Escreva uma função F : R 2 → R cuja curva de nível associado ao nível 0 é igual ao gráfico de f .
  2. Mais geralmente, dada uma função f : R → R , escreva uma função F : R 2 → R cuja curva de nível associada ao nível 0 é igual ao gráfico de f . O que você pode dizer a respeito das curvas de nível de F para níveis diferentes de 0?
  3. Seja z = f x , y = x 2 + y ² . Escreva uma função F : R 3 → R cuja superfície de nível associado ao nível 0 é igual ao gráfico de f .
  4. Mais geralmente, dada uma função f : R ² → R , escreva uma função F : R 3 → R cuja superfície de nível associada ao nível 0 é igual ao gráfico de f . O que você pode dizer a respeito das curvas de nível de F para níveis diferentes de 0?
Resolução
16.

Considere a função f x , y = 4 x 2 + y 2 - 4 .

  1. Encontre o domínio e a imagem de f x , y .
  2. O gráfico de f x , y é uma quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce o gráfico de f .
  3. Identifique as curvas de nível da função f e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de contorno e o gráfico de f x , y .
Resolução
17.

Considere a função f x , y = 1 + 1 + y 2 - 3 x 2 .

a) Encontre o domínio e a imagem de f x , y .

b) O gráfico de f x , y é uma superfície quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce o gráfico de f .

c) Identifique as curvas de nível da função f e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de contorno e o gráfico de f x , y .

Resolução
18.

Considere a função f x , y = x 2 + 3 y 2 - 2 .

a) Encontre o domínio e a imagem de f x , y .

b) O gráfico de f x , y é uma superfície quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce o gráfico de f .

c) Identifique as curvas de nível da função f e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de contorno e o gráfico de f x , y .

Resolução
19.

Os mapas de contorno abaixo (figuras A , B e C ) correspondem a que gráficos (figura I , I I , I I I ou I V )?

  1. A → I V , B → I , C → I I
  2. A → I I , B → I V , C → I
  3. A → I , B → I I , C → I V
  4. A → I I I , B → I , C → I I
  5. A → I I , B → I I I , C → I
  6. A → I , B → I I , C → I I I
Resolução
20.

Considere as regiões do plano

R 1 = x , y ∈ R 2     y + 1 - x 2 ≥ 0 }

R 2 = x , y ∈ R 2   2 y + x ≤ 1 }

Seja R = R 1 ∩ R 2

  1. Esboce R hachurado. Esboce ao lado a fronteira de R , denotada por F r ( R ) .
  2. Determine as constantes a , b ∈ R e as funções f ,   g   : a , b → R tal que
  3. R = x , y ∈ R 2     f x ≤ y ≤ g x ,   a ≤ x ≤ b }

  4. Descreva o conjunto F r R ∩ x , y ∈ R 2   y ≤ 0 }   usando igualdades e desigualdades.
Resolução
24.

Esboce as curvas de nível e o gráfico da função

f x , y = e - x 2 - y 2

Resolução

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