Enunciado

A Desigualdade Triangular para vetores é:

a + b ≤ a + b

  1. De uma interpretação geométrica para a Desigualdade Triangular.
  2. Use a Desigualdade De Cauchy-Schwarz do Exercício 57 para demonstrar a Desigualdade Triangular. [Sugestão: Use o fato de que a + b 2 = a + b ∙ ( a + b ) e utilizr a Propriedade 3 do produto escalar].

Passo 1

a )

Bom, se isso é uma desigualdade TRIANGULAR, tem a ver com triangulo. Então vamos pensar em a e b como lados de um triângulo.

Se a gente fizer a soma do vetor a com o vetor b , temos, geometricamente, um triangulo assim:

A desigualdade diz que o tamanho do vetor a + b , que é o lado maior do triangulo, é menor ou igual a soma dos outros dois lados menores do triângulo.

Belezinha?

Passo 2

b )

Vamos começar usando a sugestão dele:

a + b 2 = a + b ∙ a + b = a ∙ a + a ∙ b + a ∙ b + b ∙ b = a 2 + 2 a ∙ b + b 2

Além disso, a Desigualdade De Cauchy-Schwarz diz que

a ∙ b ≤ a b

Substituindo essa desigualdade ali em cima, ficamos com:

a + b 2 ≤ a 2 + 2 a b + b 2

E isso é a cara de um quadrado perfeito!!!

a + b 2 ≤ a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

Já estamos quase chegando na desigualdade triangular! Falta só tirar a rai dos dois lados, asism:

a + b ≤ a + b

UHUL!

Resposta

a )

A desigualdade diz que o tamanho do vetor a + b , que é o lado maior do triangulo, é menor ou igual a soma dos outros dois lados menores do triângulo.

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