Enunciado

Determina a região cuja área é igual ao determinado limite. Não avalie o limite.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 n 1 + 3 i n

Passo 1

Vamos lá, sabemos que um somatório pode ser escrito na forma de uma integral da forma abaixo:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∆ x ∑ i = 1 n f a + i ∆ x

Onde ∆ x = b - a n .

Passo 2

Vamos manipular um pouco o limite que temos:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 n 1 + 3 i n = 3 n lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 3 i n

Fazendo uma comparação temos que:

∆ x = 3 n e a = 1

Vamos agora achar b :

∆ x = b - a n → 3 n = b - 1 n → b = 4

E por último temos que:

f x = f a + i ∆ x → f x = x

Passo 3

Pronto, vamos agora montar:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∆ x ∑ i = 1 n f a + i ∆ x →

3 n lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 3 i n = ∫ 1 4 x d x

Assim, a soma representa a área abaixo da curva x e acima do eixo x no intervalo x ∈ 1,4 .

Resposta

A soma representa a área abaixo da curva x e acima do eixo x no intervalo x ∈ 1,4 .

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