Enunciado

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

l) f x = e x s e n   x ,   x ∈ 0 ,   2 π

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f x = e x s e n   x

f ' x = e x . s e n   x + e x . cos ⁡ x

f ' x = e x s e n   x + cos ⁡ x ,   x ∈ 0 ,   2 π

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 . Como e x sempre será positivo, independente do valor de x , então nem precisamos inclui-lo na análise, tudo bem? Sendo assim, temos que:

f ' x > 0 ⇒ s e n   x + cos ⁡ x > 0

s e n   x > - cos ⁡ x

Agora para o segundo caso:

f ' x < 0 ⇒ s e n   x + cos ⁡ x < 0

s e n   x < - cos ⁡ x

Mas poxa, para quais valores de x resolvemos essas desigualdades? Então galera, se lembrarmos da trigonometria, teremos que:

Intervalos crescentes: 0 , 3 π 4 ∪ 7 π 4 ,   2 π ;

Intervalos decrescentes: 3 π 4 , 7 π 4 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico conseguimos notar que realmente nosso resultado faz sentido! À esquerda de x = 3 π 4 a derivada é positiva, à direita de x = 3 π 4 a derivada é negativa, à esquerda de x = 7 π 4 a derivada é negativa e, por fim, à direita de x = 7 π 4 a derivada é positiva, assim como concluímos nos intervalos do passo 2 .

E está aí nossa análise!

Resposta

Intervalos crescentes: 0 , 3 π 4 ∪ 7 π 4 ,   2 π ;

Intervalos decrescentes: 3 π 4 , 7 π 4 .

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