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Determinar a área da superfície do paraboloide z = x 2 + y 2 exterior ao cone z = x 2 + y 2

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas x   e   y .

Seja f x , y = x 2 + y 2

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = 2 x

e

∂ z ∂ y = 2 y

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + 2 x 2 + 2 y 2 = 1 + 4 x 2 + y 2

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. Tanto o cone quanto o paraboloide crescem na direção de z > 0 . Em algum momento eles se encontram. Mas quando? A ideia é relacionar as duas equações.

p a r a b o l ó i d e → z = x 2 + y 2 = c o n e = z 2

Ou seja

z = z 2 → z = 1

Tomando uma parametrização adequada como

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = r 2

implica que r ∈ [ 0 ,   1 ] e além disso temos θ ∈ 0,2 π . Devemos lembrar que dada a transformação, nosso d x   d y se transforma em r   d r   d θ .

Passo 4

Vamos integrar?

Nossa integral agora possui a seguinte cara

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2 r d r   d θ

Fazendo 1 + 4 r 2 = u → r   d r = d u / 8

e consequentemente temos r = 0 → u = 1 e r = 1 → u = 5

Assim temos

A A S = 1 8 2 π 2 3   u 3 2 1 5 = π 6 5 5 - 1

Resposta

π 6 5 5 - 1   u . a

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