Enunciado

Determinar a massa de um fino anel circular de raio 2   c m , sabendo que a sua densidade é constante.

Passo 1

Vamos lá, a gente vai começar parametrizando a região que é um círculo de raio 2 . A parametrização é:

σ = x = 2 cos ⁡ t y = 2   s e n   t

Como é um anel, é um círculo completo, então o intervalo de t é [ 0 ,   2 π ] .

Agora a gente vai derivar essa parametrização:

σ ' = ( - 2 s e n   t ,   2 cos ⁡ t )

Fazemos a norma para encontrar o nosso d s :

d s = - 2   s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2   d t

= 4   s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t   d t

= 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t   d t

= 4 ( 1 ) = 2   d t

Passo 2

Montamos a integral que calcula a massa agora, sendo que a densidade é uma constante K ...

M = ∫ 0 2 π K 2 d t

M = 2 K ( 2 π )

M = 4 π K

Prontinho! Essa é a massa do anel😉

Resposta

M = 4 π K

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos z de uma espira da hélice circular uniforme: r ( t ) → = 2 cos ⁡ t i → + 2s e ntj → + t k →
Calcular a massa de arame cujo formato é definido pela interseção do plano 2 x + y + z = 4 com os planos coordenados, se a densidade do arame em um ponto x ,y , z é 2 x + 1 .
Calcular a massa de um fio delgado reto de 2 m de comprimento se a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto à extremidade mais próxima.
Calcular o centro de massa de um arame com forma de um quadrado de vértices 0 , - 1 ,2 , - 1 ,2,1e( 0,1 ) , sabendo que a densidade no ponto ( x , y ) é proporcional ao quadrado da distância desse pon
A figura 9.20 mostra um fio delgado C e um eixo L . Calcular o momento de inércia do fio em relação ao eixo L , supondo a densidade constante.