Enunciado

A figura 9.20 mostra um fio delgado C e um eixo L . Calcular o momento de inércia do fio em relação ao eixo L , supondo a densidade constante.

Passo 1

Vamos ter que dividir a região aqui em duas. Uma que vai de 0   a   1 e outra que vai de 1   a   2 .

A reta de 0   a   1 a gente pode parametrizar como:

r : x = t y = t ,     t ∈ [ 0,1 ]

Aí a derivada é ( 1,1 ) e a norma 2 .

Bom, nessa primeira reta, a distância de um ponto qualquer ao eixo é t + 1 (veja que só tem variação em uma das coordenadas, pois o eixo é x = - 1 )

Vamos montar essa integral de momento de inércia de uma vez então, lembrando que a densidade é constante, vamos chamar de K .

Passo 2

O primeiro momento de inércia é:

I 1 : ∫ 0 1 K t + 1 2 2 d t

= 2 K ∫ 0 1 t 2 + 2 t + 1   d t

= 2 K t 3 3 + t 2 + t 0 1

= 2 K 1 3 + 1 + 1

= 7 2 3 K

Passo 3

Vamos para a outra reta agora, de 1   a   2 . Uma parametrização para a reta é:

s : x = 1 y = 1 + t   ,   t ∈ [ 0,1 ]

E aí a derivada disso é ( 0,1 ) e a norma é 1 .

A distância de um ponto dessa reta até o eixo L é 2 . Então montando a integral, a gente tem:

I = ∫ 0 1 K 2 2 1 d t

= 4 K

Somando os dois momentos de inércia encontrados, nós achamos:

I = 7 2 + 12 3   K

Prontinho!

Resposta

I = 7 2 + 12 3   K

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