Determine Dy/Dx de x^y = y^x

Passo 1

Bom, para resolver precisamos primeiro lembrar que a derivada de a x é e l n a x   que é o mesmo que e x l n ( a ) . Assim, podemos escrever x y e y x respectivamente como:

x y =   e y l n ( x )

y x = e x l n ( y )

Agora, substituímos na equação dada e em seguida vamos encontrar d y d x que foi solicitado no enunciado. Então vamos lá:

  x y =   y x

e y l n x = e x l n y

d d x e y l n x =   d d x   e x l n y

Vamos realizar os cálculos separadamente para facilitar , beleza?

Passo 2

Vamos encontrar primeiro d d x e y l n x para isso podemos utilizar a regra da cadeia, façamos:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = e u     e u = y l n ( x )

d d u e u . =   e u

d d x   y l n x = ln ⁡ x d y d x +   y x

Substituindo u = y l n ( x ) encontramos e , vamos escrever d y d x como y’. ok?

d f ( u ) d x =   e y l n ( x ) . ln ⁡ x y ' +   y x

Agora, sabendo que e y l n x = x y fazemos a substituição:

d f ( u ) d x =   x y . ln ⁡ x y ' +   y x

Passo 3

De modo semelhante vamos resolver d d x e x l n y . Vamos utilizar novamente a regra da cadeia, considerando agora f = e u     e u = x l n ( y ) . Assim, temos:

d d u e u . =   e u

d d x   x l n y = ln ⁡ y +   x d y d x y

Substituindo u = x l n ( y ) encontramos:

d f ( u ) d x =   e x l n ( y ) . ln ⁡ y +   x d y d x y

Agora, sabendo que e x l n y = y x fazemos a substituição:

d f ( u ) d x =   y x . ln ⁡ y +   x d y d x y

Por conveniência, vamos escrever d y d x como y’. ok?

d f ( u ) d x =   y x . ln ⁡ y +   x y ' y

Encontramos as derivadas separadamente, agora voltaremos para equação dada:

Passo 4

O comando da questão pedia para encontrar D y / D x   d e   x y =   y x . Como derivamos separadamente cada lada da equação, agora vamos substituir os valores encontrados para encontrar d y d x que nos foi solicitado. Beleza?

x y . ln ⁡ x y ' +   y x = y x . ln ⁡ y +   x y ' y

Vamos aplicar a distributividade:

y ' . x y .   ln ⁡ x +   y x . x y   = y x . ln ⁡ y + x y ' y .   y x  

Observe que podemos escrever, utilizando as propriedades de potências de mesma base

y x . x y =   y. x y - 1

x y ' y .   y x = x y ' . y x - 1

Substituindo na equação acima, temos:

y ' . x y .   ln ⁡ x +   y . x y - 1   = y x . ln ⁡ y + x y ' . y x - 1  

y ' . x y .   ln ⁡ x = y x . ln ⁡ y + x y ' . y x - 1 -   y . x y - 1

y ' . x y .   ln ⁡ x - x y ' . y x - 1 = y x . ln ⁡ y -   y . x y - 1

Colocando y’ em evidência, temos:

y ' . ( x y .   ln ⁡ x - x . y x - 1 ) = y x . ln ⁡ y -   y . x y - 1

y ' . = y x . ln ⁡ y -   y . x y - 1 x y .   ln ⁡ x - x . y x - 1

Agora, reescrevemos na forma de d y d x

d y d x = y x . ln ⁡ y -   y . x y - 1 x y .   ln ⁡ x - x . y x - 1

Resposta

d y d x = y x . ln ⁡ y -   y . x y - 1 x y .   ln ⁡ x - x . y x - 1

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