Calcule a integral definida abaixo:

∫ 1 e   ⁡ 8 ln ⁡ 3 log 3 ⁡ θ θ     d θ

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por partes . Esse método é aplicado quando temos duas funções distintas (trigonométricas, logarítmica, polinomial, exponencial, etc), sendo uma delas “fácil” de integrar e a outra “mais difícil” de integrar. Desse modo você chama uma função de f(x) e a outra de g’(x) . A sua f(x) você irá derivar (encontrando sua f’(x) ) e a sua g’(x) você irá integrar (encontrando sua g(x) ) e depois efetuar a seguinte operação:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x d x

Assim, temos:

f θ = log 3 ⁡ θ ⇒ f ' θ = 1 θ ln ⁡ 3

g ' θ = 1 θ ⇒ g θ = ln ⁡ θ

∫ 1 e   ⁡ 8 ln ⁡ 3 log 3 ⁡ θ θ     d θ = 8 ln ⁡ 3   ∫ 1 e log 3 ⁡ θ θ   d θ = 8  ln  3 ( log 3 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) e 1 - 8 ln ⁡ 3 ∫ 1 e ln ⁡ θ   θ ln ⁡ 3   d θ

Passo 2

Agora devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 e ln ⁡ θ   θ ln ⁡ 3   d θ

u = ln ⁡ θ d u = 1 θ   d θ

Passo 3

Aplicando a substituição temos:

8 ln ⁡ 3 ( log 3 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) e 1 - 8 ln ⁡ 3 ∫ 1 e ln ⁡ θ   θ ln ⁡ 3   d θ =   8 ln ⁡ 3 ( log 3 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) e 1 - 8 ∫ 1 e u   d u

Passo 4

Agora utilizaremos a a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

8 ln ⁡ 3 ( log 3 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) e 1 - 8 ∫ 1 e u   d u = 8 ln ⁡ 3   ( log 3 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) e 1 - 8 u 2 2 e 1  

Passo 5

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

8 ln ⁡ 3 ( log 3 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) e 1 - 8 u 2 2 e 1 =   8 ln ⁡ 3 ( log 3 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) e 1 - 4 ( ln 2 ⁡ θ ) e 1    

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

  8 ln ⁡ 3 ( log 3 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) e 1 - 4 ( ln 2 ⁡ θ ) e 1 =    

= [ 8 ln ⁡ 3 log 3 ⁡ e ln ⁡ e - 4 ln 2 ⁡ e   ] - [ 8 ln ⁡ 3 log 3 ⁡ 1 ln ⁡ 1 - 4 ln 2 ⁡ 1 ] =  

[ 8 ln ⁡ 3 × ln ⁡ e ln ⁡ 3   ln ⁡ e - 4 ln 2 ⁡ e   ] - 0   = 8 - 4 = 4

Resposta

4

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