Enunciado

Determine underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 3 ) + x)

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x -> oo . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo: sqrt(a) - b = (sqrt(a) - b) . 1 = sqrt(a) - b . [(sqrt(a) + b)/(sqrt(a) + b)] = (( sqrt(a) - b ) . ( sqrt(a) + b ))/(sqrt(a) + b)

Então, se racionalizarmos a função temos,

underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 3 ) + x) = underset(x -> - oo)(l i m) [sqrt(x^2 + 3 ) + x] . [(sqrt(x^2 + 3 ) - x)/(sqrt(x^2 + 3 ) - x)] = underset(x -> - oo)(l i m) ([sqrt(x^2 + 3 ) + x] . [sqrt(x^2 + 3 ) - x])/(sqrt(x^2 + 3 ) - x)

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

underset(x -> - oo)(l i m) ([sqrt(x^2 + 3 ) + x] . [sqrt(x^2 + 3 ) - x])/(sqrt(x^2 + 3 ) - x)

= underset(x -> - oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 3 ))^2 - (sqrt(x^2 + 3 ) . x) + (x . sqrt(x^2 + 3 )) - x^2)/(sqrt(x^2 + 3 ) - x)

= underset(x -> - oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 3 ))^2 - (sqrt(x^2 + 3 ) . x) + (sqrt(x^2 + 3 ) . x) - x^2)/(sqrt(x^2 + 3 ) - x)

= underset(x -> - oo)(l i m) ((x^2 + 3) - x^2)/(sqrt(x^2 + 3 ) - x) = underset(x -> - oo)(l i m) (x^2 + 3 - x^2)/(sqrt(x^2 + 3 ) - x) = underset(x -> - oo)(l i m) (3)/(sqrt(x^2 + 3 ) - x)

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x -> oo e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

underset(x -> - oo)(l i m) (3)/(sqrt(x^2 + 3 ) - x) = underset(x -> - oo)(l i m) ((3)/(x))/((sqrt(x^2 + 3 ))/(x) - (x)/(x)) underset(x -> - oo)(l i m) ((3)/(x))/((sqrt(x^2 + 3))/(sqrt(x^2)) - 1)

= underset(x -> - oo)(l i m) ((3)/(x))/(sqrt((x^2 + 3)/(x^2)) - 1) = underset(x -> - oo)(l i m) ((3)/(x))/(sqrt((x^2)/(x^2) + (3)/(x^2)) - 1) = underset(x -> - oo)(l i m) ((3)/(x))/((sqrt(1 + (3)/(x^2))) - 1) = (underset(x -> oo)(l i m) (3)/(x))/(underset(x -> - oo)(l i m) ((sqrt(1 + (3)/(x^2))) - 1)) = (underset(x -> oo)(l i m) (3)/(x))/(underset(x -> - oo)(l i m) sqrt(1 + (3)/(x^2)) - underset(x -> oo)(l i m) 1)

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

(underset(x -> oo)(l i m) (3)/(x))/(underset(x -> - oo)(l i m) sqrt(1 + (3)/(x^2)) - underset(x -> oo)(l i m) 1) = (underset(x -> - oo)(l i m) (3)/(x))/(sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) (1 + (3)/(x^2))) - underset(x -> oo)(l i m) 1) = (underset(x -> - oo)(l i m) (3)/(x))/(sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + underset(x -> - oo)(l i m) (3)/(x^2)) - underset(x -> oo)(l i m) 1)

= (0)/(sqrt(1 + 0) - 1) = (0)/(sqrt(1) - 1) = (0)/(1 - 1) = (0)/(0) = oo

Resposta

underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 3 ) + x) = oo .

OBS: a resposta apresentada no livro, é underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 3 ) + x) = 0 .

Isso ocorreu devido uma troca de sinal em uma das passagens.

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