Determine lim_{x -> -infinito} (raiz(x^2 + 3) + x)

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x → ∞ . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo:   a   - b = a   - b . 1 = a   - b . a + b a + b =   ( a   - b ) . ( a + b ) a + b

Então, se racionalizarmos a função temos,

l i m x → - ∞   x 2 + 3   + x   =   l i m x → - ∞   x 2 + 3   + x   . x 2 + 3   - x   x 2 + 3   - x   = l i m x → - ∞ x 2 + 3   + x   . x 2 + 3   - x   x 2 + 3   - x  

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

l i m x → - ∞ x 2 + 3   + x   . x 2 + 3   - x   x 2 + 3   - x  

= l i m x → - ∞ x 2 + 3   2 - x 2 + 3   . x   + x . x 2 + 3   - x 2 x 2 + 3   - x  

= l i m x → - ∞ x 2 + 3   2 - x 2 + 3   . x   + x 2 + 3   . x - x 2 x 2 + 3   - x  

=   l i m x → - ∞ x 2 + 3 - x 2 x 2 + 3   - x   =   l i m x → - ∞ x 2 + 3     - x 2 x 2 + 3   - x = l i m x → - ∞ 3 x 2 + 3   - x

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x → ∞ e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

l i m x → - ∞ 3 x 2 + 3   - x = l i m x → - ∞ 3 x x 2 + 3   x - x x     l i m x → - ∞ 3 x x 2 + 3 x 2 - 1    

= l i m x → - ∞ 3 x x 2 + 3 x 2 - 1     = l i m x → - ∞ 3 x x 2 x 2 + 3 x 2 - 1   = l i m x → - ∞ 3 x 1 + 3 x 2 - 1   =   l i m x → ∞ 3 x l i m x → - ∞ 1 + 3 x 2 - 1     = l i m x → ∞ 3 x l i m x → - ∞ 1 + 3 x 2 - l i m x → ∞ 1    

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

l i m x → ∞ 3 x l i m x → - ∞ 1 + 3 x 2 - l i m x → ∞ 1     = l i m x → - ∞ 3 x l i m x → - ∞ 1 + 3 x 2 - l i m x → ∞ 1     = l i m x → - ∞ 3 x l i m x → - ∞ 1 + l i m x → - ∞ 3 x 2 - l i m x → ∞ 1    

=   0 1 + 0 - 1   = 0 1 - 1 = 0 1 - 1 = 0 0 = ∞

Resposta

l i m x → - ∞   x 2 + 3   + x   = ∞ .

OBS: a resposta apresentada no livro, é l i m x → - ∞   x 2 + 3   + x   = 0 .

Isso ocorreu devido uma troca de sinal em uma das passagens.

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