Enunciado

Faça o seguinte:

a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva.

b ) Trace a curva para ver como ela é

c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimento da curva numericamente.

x = ∫ 0 y sec 2 ⁡ t - 1 d t

- π 3 ≤ y ≤ π 4

Passo 1

Letra a

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de y , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada, em y , da f y , que é a função do enunciado.

O intervalo é de y = - π 3 até y = π 4 , vamos para a derivada.

f y = ∫ 0 y sec 2 ⁡ t - 1 d t

Para derivar, vamos usar o teorema fundamental do cálculo, encontramos:

f ' y = sec 2 ⁡ y - 1

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ - π 3 π 4 1 + sec 2 ⁡ y - 1 2 d y

O valor de sec 2 ⁡ y - 1 sempre vai ser positivo no intervalo de integração, podemos cortar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = ∫ - π 3 π 4 1 + sec 2 ⁡ y - 1 d y

L = ∫ - π 3 π 4 sec 2 ⁡ y d y

Cortando a raiz com o sec 2 ⁡ x , também teremos sec ⁡ y positiva no intervalo.

L = ∫ - π 3 π 4 sec ⁡ y d y

Ele so quer a integral mesmo, não precisamos resolver não.

Passo 3

Letra b

Jogando a função num programa de fazer gráfico, vamos ter:

Essa é a curva que ele pediu.

Passo 4

Letra c

Jogando essa integral num programa, para resolver numericamente, vamos encontrar:

L ≅ 2,20

Resposta

Letra a

L = ∫ - π 3 π 4 sec ⁡ y d y

Letra b

Letra c

L ≅ 2,20

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