Determine lim x->∞ (raiz(x^2 + x) - raiz(x^2 - x))

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x → ∞ . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo:   a   - b = a   - b . 1 = a   - b . a + b a + b =   ( a   - b ) . ( a + b ) a + b

Então, se racionalizarmos a função temos,

l i m x → ∞   x 2 + x   - x 2 - x   = l i m x → ∞     x 2 + x   - x 2 - x   . x 2 + x + x 2 - x     x 2 + 3 x + x 2 - 2 x  

= l i m x → ∞ x 2 + x   - x 2 - x   . x 2 + x + x 2 - x       x 2 + x + x 2 - x  

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

l i m x → ∞ x 2 + x   - x 2 - x   . x 2 + x + x 2 - x       x 2 + x + x 2 - x   = l i m x → ∞ x 2 + x 2 + x 2 + x .   x 2 - x   - x 2 - x   . x 2 + x - ( x 2 - x         ) 2 x 2 + x + x 2 - x  

= l i m x → ∞ x 2 + x 2 + x 2 + x .   x 2 - x   - x 2 + x .   x 2 - x   - ( x 2 - x ) 2 x 2 + x + x 2 - x  

=   l i m x → ∞ x 2 + x 2 - x 2 - x 2 x 2 + x + x 2 - x =   l i m x → ∞ x 2 + x - x 2 - x x 2 + x + x 2 - x

= l i m x → ∞ x 2 + x -   x 2 + x x 2 + x + x 2 - x = l i m x → ∞ 2 x x 2 + x + x 2 - x

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x → ∞ e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

l i m x → ∞ 2 x x 2 + x + x 2 - x = l i m x → ∞ 2 x x x 2 + x x + x 2 - x x   = l i m x → ∞ 2 x 2 + x x 2 + x 2 - x x 2

= l i m x → ∞ 2 x 2 + x x 2 + x 2 - x x 2   = l i m x → ∞ 2 x 2 x 2 + x x 2   + x 2 x 2 - x x 2   = l i m x → ∞ 2   1 + 1 x   + 1 - 1 x  

=   l i m x → ∞ 2 l i m x → ∞ 1 + 1 x   + 1 - 1 x       = l i m x → ∞ 2 l i m 1 + 1 x   x → ∞ + l i m x → ∞ 1 - 1 x    

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

l i m x → ∞ 2 l i m x → ∞ 1 + 1 x + l i m x → ∞ 1 - 1 x = l i m x → ∞ 2 l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞ 1 x     + l i m x → ∞ 1 - l i m x → ∞ 1 x

= 2 1 + 0 +   1 - 0   = 2 1 +   1 = 2 1 + 1 = 2 2 = 1 .

Resposta

l i m x → ∞   x 2 + x   - x 2 - x   = 1 .

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