Enunciado

Determine underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 3 x) - sqrt(x^2 - 2 x))

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x -> oo . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo: sqrt(a) - b = (sqrt(a) - b) . 1 = sqrt(a) - b . [(sqrt(a) + b)/(sqrt(a) + b)] = (( sqrt(a) - b ) . ( sqrt(a) + b ))/(sqrt(a) + b)

Então, se racionalizarmos a função temos,

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 3 x) - sqrt(x^2 - 2 x)) = underset(x -> oo)(l i m) [sqrt(x^2 + 3 x) - sqrt(x^2 - 2 x)] . [(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x))/(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x))] = underset(x -> oo)(l i m) ([sqrt(x^2 + 3 x) - sqrt(x^2 - 2 x)] . [sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x)])/(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x))

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

= underset(x -> oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 3 x))^2 + (sqrt(x^2 + 3 x) . sqrt(x^2 - 2 x)) - (sqrt(x^2 - 2 x) . sqrt(x^2 + 3 x)) - ( sqrt(x^2 - 2 x) )^2)/(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x))

= underset(x -> oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 3 x))^2 + (sqrt(x^2 + 3 x) . sqrt(x^2 - 2 x)) - (sqrt(x^2 + 3 x) . sqrt(x^2 - 2 x)) - ( sqrt(x^2 - 2 x) )^2)/(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x))

= underset(x -> oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 3 x))^2 - ( sqrt(x^2 - 2 x) )^2)/(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x)) = underset(x -> oo)(l i m) ((x^2 + 3 x) - ( x^2 - 2 x ))/(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x)) = underset(x -> oo)(l i m) (x^2 + 3 x - x^2 + 2 x)/(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x)) = underset(x -> oo)(l i m) (5 x)/(sqrt(x^2 + 3 x) + sqrt(x^2 - 2 x))

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x -> oo e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

= underset(x -> oo)(l i m) ((5 x)/(x))/((sqrt(x^2 + 3 x))/(x) + (sqrt(x^2 - 2 x))/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (5)/((sqrt(x^2 + 3 x))/(sqrt(x^2)) + (sqrt(x^2 - 2 x))/(sqrt(x^2))) = underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt((x^2 + 3 x)/(x^2)) + sqrt((x^2 - 2 x)/(x^2))) = underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt((x^2)/(x^2) + (3 x)/(x^2) ) + sqrt((x^2)/(x^2) - (2 x)/(x^2) )) = underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt(1 + (3)/(x) ) + sqrt(1 - (2)/(x) )) = (underset(x -> oo)(l i m) 5)/(underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(1 + (3)/(x) ) + sqrt(1 - (2)/(x) ))) = (underset(x -> oo)(l i m) 5)/(underset(x -> oo)(l i m sqrt(1 + (3)/(x) )) + underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 - (2)/(x) ))

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

(underset(x -> oo)(l i m) 5)/(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (1 + (3)/(x))) + sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (1 - (2)/(x)))) = (underset(x -> oo)(l i m) 5)/(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 1 + underset(x -> oo)(l i m) (3)/(x)) + sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 1 - underset(x -> oo)(l i m) (2)/(x)))

= (5)/(sqrt(1 + 0) + sqrt(1 - 0)) = (5)/(sqrt(1) + sqrt(1)) = (5)/(1 + 1) = (5)/(2)

Resposta

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 3 x) - sqrt(x^2 - 2 x)) = (5)/(2)

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