Enunciado

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. (Suponha que f e   g   denotem funções contínuas num intervalo [ a ,   b ] e que f m e g m denotem os respectivos valores médios de f e g em [ a ,   b ] . )

O valor médio de um múltiplo constante de f é o mesmo múltiplo de f m , ou seja, se c for uma constante qualquer,

c ⋅ f m = c ⋅ f m

Passo 1

Vamos usar a fórmula do valor médio de uma função para testar essa afimação:

f m 1 = 1 b - a ∫ a b f x d x

Vamos substituir f ( x ) por c ⋅ f ( x ) na fórmula:

f m 2 = 1 b - a ∫ a b c ⋅ f ( x ) d x

Podemos jogar a constante para a fora da integral:

f m 2 = c b - a ∫ a b f x d x = c   f m 1

Quando a gente usou c ⋅ f , chegamos em c f m , logo a afirmação é verdadeira. Repara que isso acontece porque a definição de valor médio usar integral e sabemos que:

∫ c ⋅ f d x = c ∫ f d x

Resposta

Verdadeira

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Determine o valor médio de f x = 1 x em [ 1 , 2 ] .
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Seja f uma função derivável em [ a , b ] . No Capítulo 2, definimos a taxa de cariação média de f ao longo de [ a , b ] como f b - f a b - a E a taxa de variação instantânea de f em x como f ' ( x ) .
Nos Exercícios de 47 a 50, ache o valor médio da função f no intervalo [a,b]. Nos exercícios 47 e 48, ache o valor de x onde ocorre o valor médio de f e faça um esboço.49. f x = 3 x x 2 - 16 ; a , b =
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