Enunciado

Determine o ângulo entre os vetores. (Estabeleça inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até o grau mais próximo.)

a = 1,2 , 3 ,     b = 4,0 , - 1

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição de um produto interno. Relembrando, temos:

a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = a ⋅ b a ⋅ b

θ = arccos ⁡ a ⋅ b a ⋅ b

Logo, precisamos calcular a norma de cada um dos vetores e o produto interno entre eles. Somente após isto, poderemos calcular o valor do ângulo!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo de cada um dos vetores. Desta forma,

a = 1 2 + 2 2 + 3 2

a = 14

Já para o vetor b , temos:

b = 4 2 + 0 2 + - 1 2

b = 1 7

Passo 3

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = 1,2 , 3 ⋅ 4,0 , - 1

a ⋅ b = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ - 1

a ⋅ b = 4 + 0 - 3 = 1

Passo 4

Pronto, chegamos ao final da questão! Só nos basta agora substituirmos os valores encontrados ao longo dos Passos para obtermos o valor do ângulo θ . Sendo assim, temos:

θ = arccos ⁡ 1 14 ⋅ 17

θ ≈ 86 , 3 °

Resposta

θ = arccos ⁡ 1 14 ⋅ 17 ≈ 86 , 3 °

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Sejam u , v e w vetores não nulos com o mesmo ponto inicial no espaço tridimensional, mas tais que dois quaisquer não são colineares. Mostre que u × v × w está no plano determinado por v e w
Simplifique u + v × u - v
Em cada parte calcule a expressão, supondo que u ∙ v × w = 3 b ) v × w ∙ u
Obtenha a área do triângulo de vértices A 1 ,0 ,1 , B 0 ,2 ,3 e C 2 ,0 ,1
Em cada parte calcule a expressão, supondo que u ∙ v × w = 3 a )v ∙ u × w