Enunciado

Determine, aproximando o valor até a precisão de um grau, os três ângulos do triângulo cujos vértices são dados.

21. A 1,0 ,             B 3,6 ,               C ( - 1,4 )

Passo 1

Primeiro nós precisamos calcular o módulo dos lados desse triângulo:

A B = ( 3 - 1 ) 2 + 6 - 0 2   = 40 = 2 10

B C = - 1 - 3 2 + 4 - 6 2   = 20 = 2 5

A C = - 1 - 1 2 + 4 - 0 2 = 20 = 2 5

Beleza! Agora usando as coordenadas dos vértices, nós podemos determinar os vetores que compõem esse triângulo:

A B → = 3 - 1,6 - 0 = ( 2,6 )

C B → = 3 - - 1 , 6 - 4 = ( 4,2 )

A C → = - 1 - 1,4 - 0 = ( - 2,4 )

Quase lá! Pela fórmula do produto escalar, conseguimos achar os ângulos:

cos ⁡ ∠ A = A B → . A C → A B A C = - 4 + 24 2 10   .   2 5 = 5 50 = 1 2  

∠ A = 45 °

cos ⁡ ∠ B = A B → . C B → A B C B = 8 + 12 2 10   .   2 5 = 5 50 = 1 2  

∠ B = 45 °

cos ⁡ ∠ C = C B → . A C → C B A C = - 8 + 8 2 5   .   2 5 = 0  

∠ C = 90 °

Show! Então ∠ A = 45 ° , ∠ B = 45 ° e ∠ C = 90 ° .

Resposta

∠ A = 45 ° , ∠ B = 45 ° e ∠ C = 90 °

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Sabendo que u → = 1 e v → = 7 e a n gu → ,v → = π / 6 , calcule u → ∧ v → e 4 u → ∧ 9 v → .
Demonstre e interprete geometricamente as relações:a) u → ∧ v → ≤ u → v → b) u → ∧ v → = u → v → ⇔ u → ⊥ v →
A medida angular entre os vetores a → e b → é 60 ° , e suas normar são, respectivamente, 1 e 2 . Sendo u → = a → + b → e v → = a → - b → , calcule a norma de u → ∧ v → .
Calcule 2 u → - 3 v → + w → ∧ - 6 u → + 3 v → - 3 w → .
Prove que, qualquer que seja o vetor v → , v → ∧ i → 2 + v → ∧ j → 2 + v → ∧ k → 2 = 2 v → 2 .