Enunciado

Determine a área da região entre a curva y = 3 - x 2 e a reta y = - 1 . Em relação a y

Passo 1

Inicialmente nosso objetivo é manipular a equação das curvas de maneira que elas dependam da variável y . Em seguida,ao esboçarmos o gráfico dessas curvas, focaremos no eixo y para identificar qual a função que está a frente e qual está atrás. Já que pela definição

A = ∫ a b f y - g y d y

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de frente f ( y ) menos a função de trás g y .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver há uma região, de - 1 até 3 x = 3 - y   é a função que está por cima , x = 3 - y   é a função que está por baixo. Sendo que em ambas as regiões a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Sendo assim a integral será:

∫ - 1 3 3 - y - ( - 3 - y   ) d y

Cujos limites de integração foram obtidos, a partir de onde uma região inicia, até onde a outra começa e vai até onde a parte hachurada termina.

Passo 3

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar.

∫ - 1 3 3 - y - ( - 3 - y   ) d y

= ∫ - 1 3 3 - y + 3 - y   d y

= ∫ - 1 3 2 3 - y d y

Usando a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral).

= 2 ∫ - 1 3 3 - y d y

Utilizando o método de substituição, suponha que u = 3 - y   então d u = -   d y ⇒ d y = - d u .Além disso quando y = 3 ⇒ u = 3 - 3   = 0   e quando x = - 1 ⇒   u = 3 - ( - 1 )   = 4 .

Sendo assim,

= 2 ∫ u = 4 u = 0 u ( - d u )

= - 2 ∫ u = 4 u = 0 u d u

Usando a regra de inversão do intervalo de integração

= + 2 ∫ u = 0 u = 4 u d u

Utilizando o fato de u = u 1 2 ,

= 2 ∫ u = 0 u = 4 u 1 2 d u

= 2 . 2 3 u 3 2 ​ u = 0 u = 4  

= 4 3 u 3 2 ​ u = 0 u = 4

Utilizando o Teorema Fundamental do Calculo Parte II,

= 4 3 4 3 2 - 0 3 2

= 4 3 8 - 0

= 32 3

Resposta

área da região entre a curva y = 3 - x 2 e a reta y = - 1 . Em relação a y   quando - 1 ≤ x ≤ 3

é igual à 32 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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