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Determine a área da superfície.

A parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está acima do retângulo com vértices 0,0 , 4,0 , 0,2 e 4,2 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de z . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função F x , y , z = y 2 + z 2 - 9 . Sendo assim

∂ z ∂ x = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z = 0

∂ z ∂ y = ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = y z

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + 0 2 + y z 2 d A = ∬ D 1 + y 2 9 - y 2 d A

A S = ∬ D 3 9 - y 2 d A

Passo 3

Como estamos em uma região retangular tal que 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 2 , pelo Teorema de Fubini, tanto faz a ordem de integração. Portanto, basta resolvermos a seguinte integral:

A S = ∫ 0 2 ∫ 0 4 3 9 - y 2 d x d y

A S = ∫ 0 2 12 9 - y 2 d y

A S = 12 ⋅ arcsen ⁡ x 3 0 2

A S = 12 arcsen ⁡ 2 3

Resposta

A S = 12 arcsen ⁡ 2 3

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