Enunciado

Encontre o volume de uma região delimitada superiormente

pelo paraboloide z = x2 + y2 e inferiormente pelo triângulo

delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos resolver a integral e determinar o volume de uma região delimitada pelo paraboloide dado por: z = x 2 + y 2 e o triângulo formado pelo encontro das retas y = x , x = 0 e x + y = 2 no plano x y . De posse desses dados, vamos à resolução, acompanhe!

Passo 2

Perceba que a intersecção das retas y = x e x = 0 se dá no ponto ( 0,0 ) .Perceba que a intersecção das retas y = x e x + y = 2 ocorre no ponto ( 1,1 ) .E perceba que a intersecção das retas x = 0 e x + y = 2 ocorre no ponto ( 0,2 ) .Estas informações são importantes para definir os limites de integração.

Passo 3

O volume desejado é dado pela integral dupla:

V = ∫ 0 1   ∫ x 2 - x   x 2 + y 2 d y d x

Aqui, integrando em y :

V = ∫ 0 1   x 2 + y 3 3 x 2 - x d x

Passo 4

Aqui, substituindo os limites de integração e rearranjando, teremos:

V = 2 3 - 7 12 - 1 12 - - 16 12

Resolvendo mais uma vez, teremos:

V = 4 3 . 

Resposta

V = 4 3 . 

Exercícios de Livros Relacionados

63. Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12 – 3y2e pelo plano x + y = 2.
61. Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4 – y2 .
65. Encontre o volume do sólido que é delimitado na frente e atrás pelos planos x = 2 e x = 1, nas laterais pelos cilindros y = ±1/x e acima e abaixo pelos planos z = x + 1 e z = 0.
64. Encontre o volume do sólido cortado da coluna quadrada |x| + |y| ≤ 1 pelos planos z = 0 e 3x + z = 3.
Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de maneira semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira iteração das integrais impróprias a seguir é feita como se elas fos