Enunciado

Determine as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 21 e 22 em torno dos eixos indicados.

x = t 2 2   e   y = 2 t ; 0 ≤ t ≤ 5 ; e i x o   x

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre áreas de superfícies.

Podemos determinar a área da superfície pedida, como uma revolução em torno do eixo x, utilizando:

A = ∫ t 1 t 2 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para isso, vamos derivar x em relação a t:

d x d t = 2 t 2 = t

De modo que:

d x d t 2 = t 2

De forma similar, vamos derivar y em relação a t:

d y d t = 2

De modo que:

d y d t 2 = 4

Passo 2

Daí, temos que:

d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 + 4

Aplicando na equação da área da superfície, teremos que:

A = ∫ 0 5 2 π ∙ 2 t t 2 + 4   d t

Fazendo:

u = t 2 + 4 = > d u = 2 t   d t

E os limites de integração ficam:

t = 0 = > u = 4

t = 5 = > u = 9

Logo:

A = ∫ 0 5 2 π ∙ 2 t t 2 + 4   d t = 2 π ∫ 4 9 u 1 / 2 d u = 2 π ∙ 2 3 u 3 / 2 | 4 9

Que nos dá:

A = 4 3 π ∙ 9 3 / 2 - 4 3 / 2 = 4 3 π 9 ∙ 3 - 4 ∙ 2 = 76 3 π

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

76 3 π

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Usar r0 e- 2 πθ ≤ 0 Para escrever os pontos P 1 3 , - 1 e P 2 - 2 ,- 2 em coordenadas polares.
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Calcular a área entre as curvas:b) 2 r = 3 e r = 1 + cos theta
Encontrar a área da região delimitada pelo laço interno da limaçon r = 1 + 2 s e n   θ .
Encontrar a área interior ao círculo de raio 4 e exterior a cardioide r = 4 ( 1 - cos ⁡ θ )