Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em azul na figura da questão. Desta forma, se f x ≥ g ( x ) ao longo de um intervalo a , b , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f x = 2 x 2 e g x = x 4 - 2 x 2 . O intervalo de integração é - 2,2 . Como a função f x ≥ g ( x ) para todo x pertencente ao intervalo de integração, a área da região em azul é dada por:

A = ∫ - 2 2 2 x 2 - x 4 - 2 x 2   d x

A = ∫ - 2 2 2 x 2 - x 4 + 2 x 2   d x

A = ∫ - 2 2 4 x 2 - x 4   d x

Passo 3

Vamos agora aplicar uma propriedade bastante importante que facilitará e muito na resolução do nosso problema (e quem não quer facilidade!). Vocês conseguem observar a simetria da nossa função f x e g ( x ) em torno do eixo Y   ? Por causa desta simetria, temos a seguinte relação:

∫ - 2 2 4 x 2 - x 4   d x = 2 ∫ 0 2 4 x 2 - x 4   d x  

Portanto, podemos escrever a nossa área através de apenas uma integral! Então, temos:

A = 2 ∫ 0 2 4 x 2 - x 4   d x

Passo 4

Agora, chegamos a uma integral que conseguimos calcular facilmente. Portanto, temos:

A = 2 ∫ 0 2 4 x 2 - x 4   d x = 2 4 3 x 3 - 1 5 x 5 0 2

A = 2 4 3 ⋅ 2 3 - 1 5 ⋅ 2 5 - 2 4 3 ⋅ 0 - 1 5 ⋅ 0

A = 2 32 3 - 32 5 - 0

A = 128 15

Resposta

A = 128 15

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