Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ π / 2 π c o s s e c   x   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Vamos lembrar que c o s s e c   x = 1 / s e n   x . Assim, o denominador do integrando se anula em x = π . Portanto, a integral é imprópria e devemos calcular primeiro

∫ π 2 t c o s s e c   x   d x

Passo 2

A primitiva da cossecante é menos cossecante vezes cotangente, de modo que

∫ π 2 t c o s s e c   x   d x = - c o s s e c   x   c o t g   x π 2 t = - c o s s e c   t   c o t g   t = - cos ⁡ t s e n 2 t

Passo 3

Quando t → π , temos que

lim t → π ⁡ - cos ⁡ t s e n 2 t = ∞

Portanto a integral diverge.

Resposta

Diverge.

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