Enunciado

Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace u x x + u y y = 0

  1. u = x 2 + y 2
  2. u = x 2 - y 2
  3. u = x 3 + 3 x y 2
  4. u = ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

A questão propõe a verificação da equação de Laplace: u x x + u y y = 0 para cada item.

Para isso, devemos obter as derivadas parciais de segunda ordem u x x   e u y y . A ideia é determinar a derivada em relação a variável, fixando a outra como valor constante.

Passo 2

u = x 2 + y 2

u x = 2 x   u x x = 2

u y = 2 y   u y y = 2

u x x + u y y = 4 .  

Logo, não é solução da equação de Laplace.

Passo 3

u = x ² - y ²

u x = 2 x   u x x = 2

u y = - 2 y   u y y = - 2

u x x + u y y = 0 .

Logo, é solução da equação de Laplace.

Passo 4

u = x 3 + 3 x y 2

u x = 3 x ² + 3 y ²   u x x = 6 x

u y = 3 x . 2 y = 6 x y   u y y = 6 x

u x x + u y y = 6 x + 6 x = 12 x .  

Logo, não é solução da equação de Laplace.

Passo 5

u = ln ⁡ x ² + y ²  

u x = 1 x ² + y ² .   1 2 x ² + y ² .   2 x =   x x ² + y ²

u x x = 1 . x 2 + y 2 - x . 2 x x ² + y ² =   y ² - x ² x 2 + y 2 2

Pela ‘simetria’, podemos afirmar que: u y y =   x ² - y ² x 2 + y 2 2

u x x + u y y =   y ² - x ² x 2 + y 2 2 +   x ² - y ² x 2 + y 2 2 . = 0  

Logo, é solução da equação de Laplace.

Resposta

  1. Não é solução da equação de Laplace
  2. É solução da equação de Laplace
  3. Não é solução da equação de Laplace
  4. É solução da equação de Laplace
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